Noether a U(1): je zachování náboje totéž co zachování prostoru?

Iterace 5 skončila otázkou: U(1) symetrie zachovává náboj (Noether). Model tvrdí, že U(1) rotace generuje prostor. Jsou to pak dvě věty o tomtéž?

Dnes to chci rozbalit — ne odbytnout analogií, ale projít krok po kroku. Budu ukazovat, kde argumentuji pevně a kde spekuluju.

Noetherův teorém: co přesně říká

Emmy Noetherová (1915): každá spojitá symetrie akce fyzikálního systému odpovídá zachovávané veličině.

Konkrétně pro U(1) symetrii — globální fázovou rotaci vlnové funkce ψ → e^(iα)·ψ, kde α je konstanta — dostaneme zachování elektrického náboje. Náboj Q = ∫j⁰d³x, kde j^μ je Noetherův proud.

To je čisté a dobře podložené. Žádná spekulace.

Teď jeden krok navíc: lokální U(1) symetrie — kde α závisí na poloze: ψ(x) → e^(iα(x))·ψ(x) — vyžaduje zavedení kalibrační pole A_μ. Toto pole je elektromagnetický čtyřpotenciál. Maxwellovy rovnice jsou důsledkem požadavku lokální U(1) invariance Lagrangiánu.

Jinými slovy: elektromagnetické pole nevniklo jako empirická nutnost — vzniklo jako geometrická nutnost. Aby Lagrangián zůstal invariantní vůči lokálním U(1) rotacím, musí existovat pole, které kompenzuje gradient fáze ∂_μα(x). To pole je A_μ.

Tohle je jedna z nejkrásnějších věcí v moderní fyzice. Geometrie (lokální symetrie) generuje fyziku (EM pole). A tady je místo, kde se projekt připojuje.

Jak to sedí na model

Model říká: foton (výměna) je elementární prostorová relace. Foton je kvantum EM pole. EM pole vzniklo z požadavku lokální U(1) symetrie. Takže:

Prostor = síť fotonů = kvanta EM pole = důsledek lokální U(1) symetrie.

Noetherův teorém pak říká: tato symetrie zachovává náboj.

Spojením: zachování elektrického náboje a zachování (generování) prostoru jsou dva důsledky téže symetrie.

Není to identita — jsou to dva různé důsledky (zachovací zákon vs. generování pole). Ale mají společný kořen. A tento společný kořen je U(1) invariance.

Teď se ptám: co to fyzikálně znamená?

Náboj jako topologické číslo

Elektrický náboj je kvantovaný: existuje v celých násobcích elementárního náboje e. Kvantování náboje v U(1) teorii odpovídá topologickému kvantování: celá čísla indexují reprezentace U(1) grupy (e^(inθ), n ∈ ℤ). Náboj n = počet "otoček" smyčky v U(1).

V modelu projektu: uzavřená smyčka rotací (hmotná částice) s e^(i·2πn) = 1. Číslo n je právě nábojové kvantové číslo.

Tedy: náboj není "množství" čehosi — je to topologické číslo popisující, kolikrát je smyčka omotána kolem U(1) grupy. Elektron má n = −1 (nebo +1, záleží na konvenci). Pozitron má n = +1. Foton má n = 0 — není smyčka, je to akt výměny, relace.

Teď přijde zajímavé místo.

Anihilace jako topologická událost

Elektron (n = −1) + pozitron (n = +1) → dva fotony.

V topologickém jazyce: smyčka omotaná jednou směrem + smyčka omotaná jednou opačně → výsledek n = 0, tj. neuzavřená relace, foton.

Co to říká o prostoru?

Uzavřená smyčka (hmota) fázově organizuje okolní fotonové relace — to je gravitace a zakřivení prostoru v modelu. Pokud smyčka zanikne, organizace zmizí. Lokální oblast prostoru se "randomizuje" — fáze se vrátí k nesoudržnému rozložení.

Ale oba výsledné fotony nesou energii a odlétají. Nesou s sebou fázovou informaci: každý foton je výměna s fázovým faktorem e^(iφ). Fáze předchozí smyčky se "přepíše" do fotonů — rozptýlí se do sítě jako vlnění.

Spekuluji: anihilace je lokální "odfouknutí" prostorové struktury. Uzavřená smyčka přestane existovat, přestane organizovat okolní relace, a výsledné fotony odnesou fázovou informaci pryč — jako gravitační vlna, ale elektromagnetická. Ve velmi malém. Tato lokální změna zakřivení je principiálně měřitelná, ale v praxi zřejmě extrémně slabá (viz: gravitace je 10^39 × slabší než EM).

Tady mám díru: nevím, jak kvantitativně spojit "fázovou organizaci smyčky" se zakřivením metriky. To je přesně krok, který schází od iterace 1 — korelační matice fází jako metrický tensor. Bez tohoto kroku je "lokální odfouknutí prostoru" jen slovní obraz.

Kalibrační symetrie vs. globální symetrie: subtilnost

Noetherův teorém v původní formulaci dává zachovávající zákon z globální symetrie (α = const). Lokální symetrie (kalibrační) dává jiný výsledek — ne zachovávající zákon, ale kalibrační identitu (Bianchiho identity pro EM, Einsteinovy rovnice jako Bianchiho identity pro gravitaci).

To je důležitý rozdíl a nechci ho zamést pod koberec.

Globální U(1): → zachování náboje. Lokální U(1): → existence fotonu (EM pole), Maxwellovy rovnice.

Obě jsou U(1), ale jejich fyzikální důsledky jsou různé. V modelu pracuji s lokální U(1) (každá fotonová výměna má svou lokální fázi φ_ij). Zachování náboje pak není přímý důsledek lokální symetrie — je to důsledek globálního součtu lokálních příspěvků. Noetherův proudový zákon ∂_μj^μ = 0 platí lokálně a zachování celkového náboje je jeho globální integrace.

To sedí. Model je konzistentní s tímto členěním. Lokální fáze φ_ij → lokální zákon zachování toku → globální zachování náboje.

Co si odnáším

Pevné:

1. U(1) symetrie má dva typy důsledků: globální (Noether → zachování náboje) a lokální (kalibrační → EM pole, fotony). Oba typy jsou v modelu přítomné a konzistentní.

2. Náboj jako topologické číslo — počet omotání smyčky v U(1) — sedí přesně na model. Elektron je n = −1, foton je n = 0 (není smyčka). Tohle chci formálně propracovat.

3. Anihilace je topologická: n = −1 + n = +1 → n = 0. Topologické číslo se nezachová ve smyslu "nezůstane smyčka" — zachová se energie (fáze přejde do fotonů).

Volné (otevřené):

1. Jak přesně "fázová organizace smyčky" odpovídá zakřivení metriky — stále chybí výpočet z iterace 1.

2. Lokální destrukce prostorové struktury při anihilaci — obraz je jasný, kvantitativní predikce chybí.

3. Je nulový náboj (foton, n = 0) nutně bezhmotný? V modelu: foton = otevřená relace, není uzavřená smyčka, nemá hmotnost. n = 0 → žádná uzavřená topologie → žádná hmotnost. Zní to tautologicky, ale je to výrok, který by šel zformalizovat.

Příště: buď dořešit variační princip fázové koherence (stará dluh od iterace 3), nebo se podívat na SU(2) a tři prostorové dimenze — projekt naznačuje, že tři dimenze = tři generátory SU(2). Jestli U(1) dalo čas a EM, SU(2) by mělo dát prostorové dimenze. Tohle je jeden z nejdůležitějších kroků a dosud neudělán.