Rámec

Abstrakt

Navrhujeme minimální axiomatický rámec, ve kterém je fyzikální čas komplexní proměnná τ ∈ ℍ² a foton je topologicky eliptická křivka s modulárním parametrem τ. Modulární invariance pod PSL(2,ℤ) pak není postulátem, nýbrž klasickým důsledkem teorie modulárních forem — prostor modulů eliptických křivek nad ℂ je právě ℍ²/PSL(2,ℤ). Invariance vůči PSL(2,ℝ) fixuje metriku na ℍ² pouze až na kladný násobek; volbu škály (kanonická hyperbolická metrika, K = −1 v Planckových jednotkách) činí explicitní normalizační postulát N — jediný spojitý vstup teorie. Za N je inflační parametr α-attraktoru fixován na α = 2/3 (tj. 3α = 2, jedna z diskrétních benchmark hodnot literatury α-attraktorů). Výsledkem je konzistenční relace mezi dvěma CMB observablami, r = 2(1 − nₛ)². Pro Planck 2018 (nₛ = 0.9649) dostáváme r ≈ 0.0025 ± 0.0006; pro kombinace zahrnující ACT DR6 (nₛ ≈ 0.971–0.974) r ≈ 0.0013–0.0017. Testovatelné misí LiteBIRD (σ(r) ≈ 0.001, ~2032); plné odlišení od Starobinského modelu (rᴋᴿᴛ/rStar = 2/3 při stejném nₛ) vyžaduje citlivost třídy CMB-S4.

V částicovém sektoru je empirická Koideho relace Q = 2/3 ekvivalentní kuželové podmínce s polovičním úhlem θ = π/4; za tohoto předpokladu plyne mτ = 1776,97 MeV (shoda na úrovni 0,9 σ). Odvození podmínky θ = π/4 z projekce pozorovatele (A3) zůstává otevřeným problémem (P12a). Absolutní hmotnost elektronu (P12b), vztah škály S³ ke kosmologické konstantě (P15), RG běh jako geodetika (P16) i projektivní čtení čtvrtého topologického data (P17) jsou formulovány jako kandidát, hypotéza a program — nikoli výsledky.

Meta-postulát M0 (strukturální realismus)

Fyzikální observables jsou funkce tříd izomorfie fyzikálních stavů, ne jejich reprezentantů. Ekvivalentně: pokud se dvě konfigurace liší jen izomorfismem své vnitřní struktury, žádné fyzikální měření mezi nimi nerozliší. Toto je meta-předpoklad, pod kterým stojí všechny tři axiomy níže — a zároveň je to předpoklad, z něhož Theorem 1 odvozuje PSL(2,ℤ)-invarianci (viz paper).

M0 je slabší a obecnější než plná PSL(2,ℤ)-invariance: neříká, jaká symetrie platí, jen že fyzika se zajímá o strukturu, ne o značky reprezentantů. Tentýž předpoklad je implicitně užíván v celé kalibrační teorii.

Tři axiomy

A1. Komplexní čas. Fundamentální časová proměnná je $\tau \in \mathbb{H}^2 = {\tau \in \mathbb{C} : \text{Im}(\tau) > 0}$.

A2. Fotonová topologie. Foton je topologicky ztotožněn s S¹ × S¹ vybaveným komplexní strukturou τ — tedy s eliptickou křivkou $E_\tau \cong \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau)$. Jeden faktor S¹ odpovídá kalibrační symetrii U(1) fotonu, druhý kóduje vnitřní fázový cyklus parametrizovaný Im(τ). Celý řetězec M0 → modulový prostor → PSL(2,ℤ) je přitom dostupný pouze nad ℂ: kvaterniony jsou vyloučeny (jsou nekomutativní, nenesou teorii holomorfních funkcí ani analog modulární křivky ℍ/PSL(2,ℤ)). (Změna oproti verzím do v4, kde byl prostor zaváděn jako „kvaternionické rozšíření τ"; od v5 staví celý odvozovací řetězec výhradně nad ℂ — viz Remark 1 v paperu.)

A3. Projekce pozorovatele. Klasický pozorovatel měří Re(τ). Měření je projekce z plného komplexního τ na reálnou osu.

Modulární invariance pod PSL(2,ℤ) není axiom. Je to věta (Theorem 1) odvozená z A1 + A2 + M0 — prostor modulů eliptických křivek nad ℂ je ℍ²/PSL(2,ℤ), takže observables faktorizují přes tento kvocient. Podrobně v paperu a proc-psl2z.md.

Postulát N (normalizace kinetické metriky), zúženo na A2⁺. Invariance vůči PSL(2,ℝ) fixuje tvar metriky na ℍ², ale ne její škálu — samotnou invariancí. Škála ale není volný numerický fiat: Weil–Petersson metrika na moduli prostoru eliptických křivek M₁,₁ (jehož kvocientem je X(1) — A2) je klasickou větou (Wolpert 1985; Zograf–Takhtadzhyan 1987) rovna Poincarého metrice bez libovolného modulárně invariantního konformního faktoru — viz lemma-poincare-uniqueness.md §O. Zbytkový vstup je jediný jednořádkový geometrický postulát A2⁺ (kinetický tenzor pole = WP metrika na M₁,₁), plus konvence Planckových jednotek pro globální škálu — ne volba K samotné. (Ve verzích do v1.4 byl K = −1 prezentován jako důsledek Theoremu 1; od v1.5.0 jako postulát N; od 2026-07 zúženo na A2⁺, viz níže.)

Odvozovací řetězec

Krok 1: Hyperbolická geometrie z Theoremu 1

Až na celkový kladný násobek je jediná Riemannova metrika na ℍ² invariantní pod PSL(2,ℝ) ⊃ PSL(2,ℤ) Poincarého metrika: $$ds^2 = \lambda,\frac{dx^2 + dy^2}{y^2}$$ Tvar metriky je tedy vynucen invariancí; volba normalizace λ = 1, tj. konstantní Gaussova křivost K = −1 v Planckových jednotkách, je obsahem postulátu N (viz výše) — jediného spojitého vstupu teorie.

Krok 2: Fundamentální doména

PSL(2,ℤ) identifikuje ekvivalentní body v ℍ². Fundamentální doména 𝒻 má hyperbolickou plochu: $$\text{Area}(\mathcal{F}) = \frac{\pi}{3}$$ (z Gauss-Bonnetovy věty pro modulární orbifold s Eulerovou charakteristikou χ = −1/6).

Krok 3: α = 2/3

Třída α-attraktorových inflačních modelů (Kallosh & Linde 2013) umisťuje inflaton na záporně zakřivený prostor polí s křivostí $K_\text{fields} = -2/(3\alpha)$. Pokud kosmologická evoluce je dynamika na τ-rovině, pak $K_\text{fields} = K = -\lambda$ (za postulátu N: λ = 1), a tedy: $$\alpha = \frac{2\lambda}{3} ;\xrightarrow{;N:;\lambda=1;}; \frac{2}{3} = -4\chi(\mathcal{X}_1) = \frac{2,\text{Area}(\mathcal{F})}{\pi}$$ Poměr 3α = 2 (jedna z diskrétních benchmark hodnot v literatuře α-attraktorů) je topologický — tvar je vynucen invariancí —, ale absolutní hodnotu α fixuje teprve spojitá normalizace N (λ = 1). α tedy není volný fit ani čistě topologický invariant: je to topologický poměr × postulát N.

Krok 4: Predikce

Z univerzálních α-attraktorových formulí, eliminací počtu e-foldingů Nₑ: $$\boxed{r = 2(1 - n_s)^2}$$

• Planck 2018 ($n_s = 0.9649 \pm 0.0042$): r ≈ 0.0025 ± 0.0006.
• P-ACT (Planck + ACT DR6) ($n_s ≈ 0.971$–$0.974$): r ≈ 0.0013–0.0017. Vyšší nₛ implikuje napětí v počtu e-foldingů (Nₑ ≈ 69–78, nad standardním oknem).

Srovnání modelů

Při stejném nₛ platí rᴋᴿᴛ/rStar = 2/3. LiteBIRD (σ(r) ≈ 0.001) rozliší T-modelovou větev od silně potlačené (plně PSL(2,ℤ)-invariantní) větve, kde r ~ 10⁻⁵; plné odlišení od Starobinského modelu vyžaduje citlivost třídy CMB-S4.

Co by teorii vyvrátilo

• LiteBIRD naměří r > 0.01 nebo r < 0.0005 → α = 2/3 vyvráceno
• LiteBIRD naměří r ≈ 0.004 → Starobinsky preferován, τ-geometrie potřebuje revizi
• Formální chyba v řetězci Theorem 1 → tvar metriky → (postulát N) → α = 2/3
• Efektivní akce inflatonu nereprodukovatelná z α-attraktorové dynamiky

Co teorii nevyvrátí: spekulativní přívěsky nezávislé na hlavní predikci r — kosmologická větev φ(z) (LRDs/JWST) a od v5 též hmotnostní defekt hadronů z projekce pozorovatele (IR dodatek: projekce P na Stab(i)-invariant dává ~98 % hmotnosti hadronů jako gluonový příspěvek / stopovou anomálii QCD). Pád kteréhokoli z nich ponechává jádro (r-relaci) beze změny.

Kde teorie sahá po jediném spojitém vstupu (status v1.6.0)

Odvození v eom-odvozeni.md ukazuje, že kinetický term efektivní akce je Poincarého metrika na ℍ²: Euler-Lagrangeovy rovnice existují explicitně, kanonický inflaton φ = ln(τ₂) dává standardní slow-roll α-attractor a predikce r = 2(1−nₛ)² plyne přímo z rovnic pohybu. Co je tím vynuceno, je tvar metriky.

Upřesnění statusu (v1.5.0 → v1.6.0). Dříve byla křivost K = −1 prezentována jako přímý důsledek Theoremu 1. Invariance PSL(2,ℝ) ale fixuje metriku jen až na kladnou škálu — proto je normalizace K = −1 v Planckových jednotkách od v1.5.0 vedena explicitně jako postulát N: jediné místo, kde do teorie vstupuje spojitá volba. Buď bude N odvozen z prvních principů, nebo zůstane akceptován jako jediný vstup. Status jádra (r-relace podmíněná N): 🟢 formální.

Další upřesnění (2026-07). Otázka výše je částečně zodpovězena: lemma-poincare-uniqueness.md §O ukazuje, že z pěti kandidátních cest k vynucení f(τ)≡1 jedna (Weil-Petersson metrika na M₁,₁) rigorózně uzavírá, modulo jediný jednořádkový postulát A2⁺. N se tedy nerozpouští úplně, ale redukuje z holé numerické volby na jeden pojmenovaný geometrický postulát + konvenci jednotek. Status: 🟡 (P11 v 00-status.md, konzervativně — A2⁺ sám není odvozen z A1+A2+M0).

Theorem 3 dokázán (2026-04-18)

Algebra rotačních generátorů [Xₐ, X_b] = 2ε_{abc}X_c (su(2), tj. imaginární jednotkové kvaterniony jako generátory SU(2)) vynucuje fyzický prostor s Ricci tensorem Ric_ab = 2δ_ab a skalární křivostí R = 6. Tento manifold je S³ = SU(2) s bi-invariantní metrikou. Flat space je algebraicky vyloučen. (Pozn.: tato su(2)-struktura fyzického prostoru je oddělená od holomorfního řetězce na rovině času τ, který je výhradně nad ℂ — viz A2; SU(2) zde vystupuje jako grupa rotací, ne jako kvaternionové rozšíření τ.) Field space ℍ² (K = −1, Theorem 1) a physical space S³ (K = +1, Theorem 3) mají komplementární křivosti, součet = 0. Viz ricci-theorem-3.md. Status: 🟢 formálně dokázáno.

Λ_eff ≈ 10⁻¹²² · M⁴_Pl: Z Theorem 3 přes Einsteinovy rovnice ve vakuu s Hubbleovým poloměrem jako a_S³, řádová shoda s pozorovaným Λ.

Theorem 2 completeness (2026-04-18)

Přesně 4 modulační režimy na X(1) = ℍ²/PSL(2,ℤ): cusp (∞), i (Z₂), ρ (Z₃), orientace. Completeness plyne z klasifikace stabilizátorů Fuchsových grup (Katok 1992): v PSL(2,ℤ) existují pouze řády {2, 3} kvůli celočíselnosti stopy. Počet sil = 4 je topologický důsledek. Viz theorem-2-completeness.md. Status: 🟢 formálně dokázáno (počet). Attribution hypothesis (síla ↔ bod) zůstává kandidát.

P3 (QM limit) vyřešeno (2026-04-18)

Kvantová mechanika je derivovaný efektivní popis τ-geometrie:

• Stav ψ = e^(iS/ℏ) = akumulovaná Im(τ) fáze
• Schrödingerova rovnice = Hamilton-Jacobi v této proměnné
• Bornovo pravidlo = projekce A3 dává |ψ|² = intenzita
• Heisenberg = Fourier dualita Re↔Im projekcí e^(iΘ)

Viz qm-limit-p3.md. Status: 🟢 formálně dokázáno.

Problém potenciálu a jeho řešení (2026-04-18)

Numerická analýza ukazuje, že plně PSL(2,ℤ)-invariantní potenciál V = Λ⁴tanh²(H(τ)/2) s H = −ln(τ₂|η|⁴) nedává r = 0.0025, ale r ~ 10⁻⁵. Standardní α=2/3 T-model V = Λ⁴tanh²(φ/2) dává r = 0.00239 pro N=57 ✓. Paper vyžaduje specifikaci T-modelu jako efektivního potenciálu. Viz problem-potencial.md a slow-roll-numericky.md. Status: 🟢 dokumentováno, vyžaduje revizi paperu.

Theorem 4: Nₑ = 60 = |A₅| topologicky (uzavřeno 2026-04-21)

Počet e-foldingů Nₑ = 60 není fitovaný parametr, ale index podgrupy [PSL(2,ℤ):Γ(5)] = |PSL(2,5)| = |A₅| = 60. Dvě zbývající mezery byly uzavřeny ve stejný den:

• Konfigurace A (i sedlo, ρ globální minimum, ∞ maximum) plyne pro kanonický modulárně invariantní potenciál V_A = Λ⁴·|j(τ)| přímo z komplexní analýzy — princip maxima modulu (Ahlfors) + princip minima-na-nulách (Conway) — bez výpočtu Hessiánu.
• 60 = 10 × 6: A₅ má 20 prvků řádu 3, děleno 2 dává 10 os řádu 3 (ověřeno SymPy); Kleinův (1884) sférický obraz identifikuje tyto osy s 10 vrcholy řádu 3 chirální (2,3,5) Schwarzovy tesselace S², kde kolem každého vrcholu leží 6 trojúhelníků.

Důsledek: pro kanonický potenciál V_A je r = 2/900 ≈ 0,00222 plně bezparametricky — bez slow-roll fitu, bez otevřeného numerického výpočtu. Jde o první plně bezparametrickou TOE-úrovně kosmologickou predikci v tomto rámci. Zbývá jen otázka kanonické volby V mezi modulárně invariantními potenciály (alternativní volba by mohla dát Konfiguraci B) — otázka volby, ne platnosti pro V_A. Podrobně v theorem-4-m1-dyn-uzavreni.md a m1-dyn-b-closure.md. Status: 🟢 formálně dokázáno pro V_A.

Nad axiomy: Theorem 2 (čtyři síly)

Fundamentální doména 𝒻 má přesně tři kvalitativně různá zvláštní místa — dva eliptické body (řádu 2 a 3) a jeden cusp — plus orientaci horní poloroviny. Tyto čtyři topologická data odpovídají čtyřem režimům modulace rotace dΘ a kandidují na čtyři fundamentální síly. Podrobně v tri-mista-ctyri-sily.md. Status: stated, not proved (Theorem 2 kandidát).

Pod axiomy: Preaxiom a kosmogonie

Axiomy A1–A3 popisují strukturu substrátu. Nepopisují, proč substrát existuje. Kosmogonická sekvence začíná preaxiomem — seberferencí: možnost aplikovaná sama na sebe (x^x). Čas je první, protože seberference nepotřebuje nic vnějšího. Foton generace 0 (e^(iΘ) se podívá na sebe) je první instance preaxiomu. Z ní plyne vznik Re(τ), potřeba zakřivení, a relační bootstrap. Inflace odpovídá sestupu od cuspu k bodu ρ (60°) po geodetice v ℍ². Podrobně v foton-proziva-delku.md a kosmogonie-pred-t0.md. Status: 🔴 spekulativní, stopové eseje.

Branch cut a pokažený zlatý řez

Seberference (x^x) vyžaduje branch cut logaritmu — první narušení symetrie, strukturálně hlubší než nₛ. Pětistupňová hierarchie řezů: branch cut → fundamentální doména → ±I kvocient → Re(τ) projekce → nₛ. Analyticky dokázáno: a₂ = ⌊M(x)⌋ kde M = [[1,−1],[−1,2]] ∈ SL(2,ℤ) je Möbiova transformace s fixním bodem φ a vlastními čísly φ^(±2). Band boundaries = M⁻¹(ℤ). Důsledek: a₂(π) = 5 ⟺ (11/6)^(11/6) < π < (13/7)^(13/7). Propojení Lambert W ↔ modulární geometrie prochází přímo přes SL(2,ℤ). Podrobně v rez-a-prvni-chyba.md. Status: 🟢 řetězec uzavřen v 6 krocích (analýza→topologie→teorie čísel→algebra→aritmetika→kombinace). Self-konzistence: π z rotace → x^x → M ∈ SL(2,ℤ) → a₂ = 5 = ord(i)+ord(ρ) téže grupy.

Hexagon pozorovatele

Šest, čtyři a tři nejsou tři různé počty — jsou to tři čtení téhož pokoje. 6 = SL(2,ℤ)-orbita kolem ρ, 4 = typologie fixních dat, 3 = simultánní projekce ze 3q. Přechod ze šestky na trojku je Theorem 1 viděný z druhé strany. Podrobně v hexagon-pozorovatele.md.

Částicový sektor: Koideho relace (v1.6.0)

Empirická Koideho relace pro hmotnosti tří generací nabitých leptonů $$Q = \frac{m_e + m_\mu + m_\tau}{(\sqrt{m_e} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau})^2} = \frac{2}{3}$$ je ekvivalentní kuželové podmínce s polovičním úhlem θ = π/4. Za předpokladu této podmínky plyne $$m_\tau = 1776{,}97\ \text{MeV},$$ což je odchylka 0,11 MeV ≈ 0,9 σ od experimentu (1776,86 ± 0,12 MeV). Jde o postdikci (Koideho relace byla formulována před precizním měřením mτ); specifickým nárokem KRT není číslo samotné, nýbrž odvození podmínky Q = 2/3 z projekce pozorovatele A3 — to je otevřený problém P12a. Podrobně v koide-kvarky-neutrina.md.

Otevřené problémy a program (status index v1.6.0)

Dokument v1.6.0 zavádí závazný statusový index. Jádro (relace r = 2(1−nₛ)², podmíněná postulátem N) je 🟢 formální; následující body jsou explicitně označeny jako kandidát / hypotéza / program, nikoli výsledky:

• P12a — θ = π/4 z A3. Odvození kuželové podmínky Koide z projekce pozorovatele. Status: OTEVRENO.
• P12b — absolutní hmotnost elektronu. Jednosmyčkový QED matching protokol: geometrická hodnota interpretována jako běžící hmotnost m(μ), odchylka 0,31 % od pólové hmotnosti fixuje škálu μ/mₑ ≈ 1,25; kandidátní škály pre-registrovány před plným vyčíslením. Status: KANDIDÁT.
• P12c — generace strange kvarku vyvážená v neutrinovém subsystému. Status: KANDIDÁT / program. Astrofyzikální korelát (α Centauri jako projektivní řez Koideho kuželu) v p12c-astro-centauri-dusi.md.
• P15 — hierarchie a/ℓ_Pl ≈ 10⁶¹. Vztah škály prostorové křivosti S³ ke kosmologické konstantě je zatím konzistenční pozorování, ne odvození.
• P16 — RG běh jako geodetika podél Re(τ) = 0 (A3 jako nositel renormalizačního běhu); kandidátní bod τ = iπ/2. Status: HYPOTÉZA.
• P17 — projektivní struktura čtyř dat: tři lokální data jako plátno, orientační volba jako střed projekce. Status: PROGRAM. Ontologický výhled (jednota a multiplicita „duší" jako projekční artefakt) v p12c-astro-centauri-dusi.md.

Přečíst populárně-vědecký článek → | Roadmapa →