2026-07-15 19:41 rozpracováno (setup + první krok) B4T-modelmodular-averagingefektivni-akceP8calculation

B4 — Derivace T-modelu z plné PSL(2,ℤ)-invariantní akce přes modulární průměrování

Účel. Navazuje na p8-posledni-odraz-do-i.md (interpretační uzávěr přes A3 ≡ S-reflection) a kauzalni-stred-lokalni-i.md (fyzikální motivace Stab(i)-redukce). Tento dokument je konkrétní výpočet, který ukazuje, jak z plně PSL(2,ℤ)-invariantní akce vypadne efektivní single-field T-model podél Stab(i)-kotvy. Setup + první výpočetní krok hotové; další kroky identifikovány.

I. Setup

I.1 Plná akce

$$S = \int d^4x\sqrt{-g}\left[\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}R - \frac{1}{2}\frac{(\partial\tau_1)^2+(\partial\tau_2)^2}{\tau_2^2} - V(\tau)\right]$$

s plně modulárně invariantním potenciálem

$$V(\tau) = \Lambda^4 \tanh^2!\left(\frac{H(\tau)}{2}\right), \qquad H(\tau) = -\ln[\tau_2,|\eta(\tau)|^4]$$

I.2 Cílová efektivní akce

Po redukci na Stab(i) = ⟨S: τ → −1/τ⟩ očekáváme T-model:

$$S_{\text{eff}} = \int d^4x\sqrt{-g}\left[\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}R - \frac{1}{2}(\partial\varphi)^2 - \Lambda_{\text{eff}}^4\tanh^2!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right]$$

kde φ = signed d_ℍ²(τ, i) a Λ_eff je efektivní škála.

I.3 Redukční procedura — tři kroky

Krok 1 (dnes): Integrace přes τ₁-orbitu T: τ → τ+1. Výsledek: T-invariantní potenciál V̄(τ₂) závislý jen na τ₂.

Krok 2: Průměrování přes ρ-orbity (cyklus ST řádu 6 kolem ρ). Výsledek: ⟨S⟩-kovariantní potenciál V̂(τ₂) invariantní pod τ₂ → 1/τ₂.

Krok 3: Transformace na canonical field φ = ln τ₂ a srovnání s T-modelem tanh²(φ/2).

II. Krok 1: Integrace přes T-orbitu

II.1 T-invariance |η|²

η-funkce má q-expansi: $$\eta(\tau) = e^{\pi i\tau/12}\prod_{n=1}^\infty (1 - q^n), \qquad q = e^{2\pi i\tau}$$

T: τ → τ+1 dává η(τ+1) = e^(iπ/12) η(τ), tedy |η(τ+1)|² = |η(τ)|². |η|² je T-invariant. Tudíž H(τ) = −ln[τ₂|η|⁴] je T-invariant a V(τ) = Λ⁴ tanh²(H/2) je T-invariant přímo, bez průměrování.

II.2 Důsledek

Krok 1 je triviální: V je už T-invariantní, integrace přes τ₁-periodu dává sebe sama:

$$\bar V(\tau_2) \equiv \int_{-1/2}^{1/2}d\tau_1, V(\tau_1 + i\tau_2) = V(i\tau_2)$$

(Poslední rovnost platí jen pokud V nezávisí na τ₁ vůbec — což platí, protože H je T-invariant.)

Hmm — to je příliš silné tvrzení. Zkontroluji: |η(τ)|² = |η(τ₁ + iτ₂)|² závisí na τ₁ skrze q = e^(2πiτ) = e^(2πiτ₁) e^(-2πτ₂). q je komplexní, ale |q^n|² = e^(-4πnτ₂) nezávisí na τ₁. Co závisí na τ₁ je fáze q^n, která se projeví v produktu ∏(1−q^n), ne v |η|².

Explicitní výpočet |η|²:

$$|\eta(\tau)|^2 = |e^{\pi i\tau/12}|^2 \cdot \prod_n |1-q^n|^2 = e^{-\pi\tau_2/6}\prod_n|1-q^n|^2$$

$$|1 - q^n|^2 = (1 - e^{-2\pi n\tau_2}\cos 2\pi n\tau_1)^2 + (e^{-2\pi n\tau_2}\sin 2\pi n\tau_1)^2$$

$$= 1 - 2e^{-2\pi n\tau_2}\cos 2\pi n\tau_1 + e^{-4\pi n\tau_2}$$

Závisí na τ₁ přes cos. Tedy |η|² NENÍ T-invariant globálně; jen fáze η je T-kovariantní. Aha.

Oprava: η(τ+1) = e^(iπ/12)η(τ), tedy |η(τ+1)|² = |η(τ)|². To je formálně pravda, protože pokud dosadím τ → τ+1, všechny sumy se posunou a q-expanze se vrátí na stejnou hodnotu. Tedy |η|² je opravdu T-invariant jako funkce τ, ne jako explicitní funkce τ₁ a τ₂.

To je konzistentní — funkce T-invariantní je periodická v τ₁ s periodou 1. Integrace přes jednu periodu dává její průměr, který je explicitně funkcí jen τ₂. Netriviální krok je spočítat ten průměr explicitně.

II.3 Explicitní τ₁-průměr |η|²

$$\overline{|\eta|^2}(\tau_2) = \int_{-1/2}^{1/2}d\tau_1, |\eta(\tau_1+i\tau_2)|^2 = e^{-\pi\tau_2/6}\prod_n\int_{-1/2}^{1/2}d\tau_1,(1 - 2e^{-2\pi n\tau_2}\cos 2\pi n\tau_1 + e^{-4\pi n\tau_2})$$

$$= e^{-\pi\tau_2/6}\prod_n(1 + e^{-4\pi n\tau_2})$$

(Průměr cosinu přes celou periodu je 0; konstanty se zachovají.)

Výsledek první výpočetní jednotky:

$$\boxed{\overline{|\eta|^2}(\tau_2) = e^{-\pi\tau_2/6}\prod_{n=1}^\infty(1 + e^{-4\pi n\tau_2})}$$

Tohle je ne standardní Dedekindova funkce, ale jej příbuzná série — konkrétně souvisí s θ-funkcí θ₃ nebo s partition function pro bosonické struny kolem kružnice. Neplést s θ-funkcí z tématu dΘ ≠ 0; to je jiný θ.

II.4 Průměr V

$$\bar V(\tau_2) = \Lambda^4\int_{-1/2}^{1/2}d\tau_1,\tanh^2!\left(\frac{H(\tau)}{2}\right)$$

Tanh² je nelineární funkce H, takže integraci nelze triviálně zaměnit. Ale pro malé variace kolem τ₁=0:

$$H(\tau) = H(i\tau_2) + \tau_1 \partial_{\tau_1}H|{\tau_1=0} + \frac{1}{2}\tau_1^2 \partial{\tau_1}^2 H|_{\tau_1=0} + \ldots$$

Z T-invariance |η|² platí ∂{τ₁} |η|² |{τ₁=0} = 0 (pro symetrii τ₁ → −τ₁ použít η(−τ̄) = η̄(τ)). Tedy první derivace H podle τ₁ v τ₁=0 je nulová, a expansion je:

$$H(\tau) \approx H(i\tau_2) + \frac{\tau_1^2}{2} H''{\tau_1\tau_1}|{\tau_1=0}$$

Druhá derivace vyjde z q-expanze H = −ln τ₂ − 4 ln|η|:

$$\partial_{\tau_1}^2 \ln|\eta|^2 \big|{\tau_1=0} = \sum{n\geq 1} \frac{(2\pi n)^2 \cdot 2 e^{-2\pi n\tau_2}}{(1 - e^{-2\pi n\tau_2})^2} \cdot \left(\text{specifikovat znaménko}\right)$$

Přesný koeficient vyžaduje pečlivější derivaci, ale v limitě τ₂ → ∞ (cusp) exponenciálně klesá, a v okolí τ₂ = 1 (bod i) je konečný kladný.

II.5 Efektivní τ₂-potenciál (přibližně)

Aproximace druhého řádu v τ₁:

$$\bar V(\tau_2) \approx V(i\tau_2) + \frac{1}{24}\left.\partial_{\tau_1}^2 V\right|_{\tau_1=0}\cdot\frac{1}{2}\cdot(\text{1 perioda})^2$$

kde 1/24 pochází z průměru ⟨τ₁²⟩_{[−1/2,1/2]} = 1/12 (a další faktor 1/2 z Taylorova rozvoje).

Koeficient kvadratické opravy je malý v cusp limitě (kde se τ₁ dynamika rozpadne) a O(1) u bodu i (kde ale aproximace druhého řádu už nemusí stačit).

III. Krok 2: S-symetrie τ₂ → 1/τ₂

S: τ → −1/τ převede τ₁=0 trajektorii na τ₁=0 (S-fix), ale τ₂ → 1/τ₂. Takže V̄(τ₂) dostává navíc podmínku:

$$\bar V(\tau_2) = \bar V(1/\tau_2)$$

Tato podmínka je automaticky splněna, protože H(i/τ₂) = H(iτ₂) (z modulární invariance H). Explicitně:

$$H(i/\tau_2) = -\ln[(1/\tau_2)|\eta(i/\tau_2)|^4]$$

a z η(−1/τ) = (−iτ)^(1/2) η(τ) plyne |η(i/τ₂)|² = τ₂ |η(iτ₂)|². Tedy (1/τ₂)·|η(i/τ₂)|⁴ = τ₂·|η(iτ₂)|⁴ … ne to nesouhlasí, zkontroluji.

|η(-1/τ)|² = |(-iτ)^(1/2)|² |η(τ)|² = |τ| · |η(τ)|²

Pro τ = iτ₂ (τ₁=0): |τ| = τ₂. Takže |η(i/τ₂)|² = τ₂ · |η(iτ₂)|². Dobře:

$$(1/\tau_2) \cdot |\eta(i/\tau_2)|^4 = (1/\tau_2) \cdot \tau_2^2 \cdot |\eta(i\tau_2)|^4 = \tau_2 \cdot |\eta(i\tau_2)|^4$$

Tedy H(i/τ₂) = -ln[τ₂|η(iτ₂)|⁴] = H(iτ₂). Ano, H je S-invariant podél τ₁=0.

Důsledek: V(iτ₂) je S-invariant. V řeči canonical field φ = ln τ₂: V je sudá funkce φ. ✓

IV. Krok 3: Canonical field φ a srovnání s T-modelem

Podél τ₁=0 geodetiky je kinetická metrika (∂τ₂)²/τ₂². Canonical field φ = ln τ₂ dává (∂φ)² bez prefaktoru.

V canonical field: V(φ) = Λ⁴ tanh²(H(e^φ)/2) s

$$H(e^\varphi) = -\ln[e^\varphi |\eta(ie^\varphi)|^4] = -\varphi - 4\ln|\eta(ie^\varphi)|$$

V cusp limitě (φ → ∞, τ₂ → ∞): |η(iτ₂)|² ≈ e^(−πτ₂/6), tedy −4ln|η| ≈ 4πτ₂/12 = πτ₂/3 = πe^φ/3. Takže:

$$H(e^\varphi) \approx -\varphi + \frac{\pi e^\varphi}{3} \to \frac{\pi e^\varphi}{3}$$

a

$$V(\varphi) \approx \Lambda^4 \tanh^2!\left(\frac{\pi e^\varphi}{6}\right) \approx \Lambda^4\left(1 - 4e^{-\pi e^\varphi/3}\right)$$

To je právě ten dvojnásobně exponenciální pokles, který v problem-potencial.md generuje r ~ 10⁻⁵.

IV.1 Proč to není T-model

T-model má H(φ) = φ (lineární v canonical field), ne H(e^φ) (exponenciální v canonical field). Klíčový rozdíl je v tom, jak η se chová v cusp — η dává exponenciální suppression q^(1/24), což po logaritmu dává lineární τ₂, ale po kompozici s φ = ln τ₂ to dává exponenciální.

IV.2 Co by muselo platit pro T-model

Aby vypadl T-model, bylo by potřeba jiné modulární výškové funkce H, která v canonical field φ je lineární. Kandidát:

$$H_{\text{T}}(\tau) = 2 \cdot d_{\mathbb{H}^2}(\tau, i) = 2|\ln\tau_2| \quad (\text{pro } \tau_1 = 0)$$

Tato funkce je ℤ₂-invariantní (pod S: τ → -1/τ, φ → -φ, |φ| → |φ|), ale není plně PSL(2,ℤ)-invariantní — invariance je redukována na Stab(i) = ⟨S⟩.

IV.3 Implikace

Plně PSL(2,ℤ)-invariantní efektivní potenciál nepřevedie na T-model modulárním průměrováním. Průměrování zachovává modulární invariance (integrand je T-invariantní, výsledek je též T-invariantní); S-invariance je též zachována. Ale forma funkce H zůstává stejná — průměrování nemůže změnit dvojnásobnou exponenciálu na prostou lineární funkci.

Závěr krok 3: Modulární průměrování SAMO SEBOU T-model nevyprodukuje. Je potřeba další redukční princip.

V. Co tedy uzavírá P8

Z výpočtu výše plyne: T-model není důsledek modulárního průměrování, ale důsledek redukce funkce H na ⟨S⟩-invariant, což je krok navíc mimo modulární invariance.

Tento krok navíc je přesně to, co reformulace A3 ≡ S-reflection v p8-posledni-odraz-do-i.md §VIII deklaruje axiomaticky: pozorovatel měří Stab(i)-invariant, ne PSL(2,ℤ)-invariant. Modulární průměrování je ztrátový: ztrácí víc, než pozorovatel vidí.

Pro pozorovatele pod reformulovaným A3′ je H → H_T(τ) = 2 d_ℍ²(τ, i). To je nová efektivní výšková funkce, která:

  • Je invariantní pod Stab(i) = ⟨S⟩ ✓
  • V canonical field φ dává H_T = 2|φ| — lineární v φ
  • Generuje T-model V = Λ⁴ tanh²(|φ|) ≈ Λ⁴ tanh²(φ/2) v modifikované škále

V.1 Status P8 po tomto výpočtu

Technická derivace T-modelu z plně modulární akce pomocí prostého modulárního průměrování je nemožná (výpočet IV ukazuje proč — tvar H nelze změnit). Alternativně:

  • Buď se T-model přijímá jako efektivní potenciál pro ℤ₂-pozorovatele po reformulaci A3 (tedy přímo z axiomů, ne odvozený ze širšího principu) — to je paper v1.1.7 a uzávěr je 🟢 interpretační.
  • Nebo se hledá netriviální redukční princip (např. projekce na Stab(i)-koset v Hilbertově prostoru, integrace přes nesebedostupnou τ-dynamiku), který vyprodukuje H_T z H.

V.2 Co zbývá 🟡

Netriviální redukční princip nebyl identifikován. Kandidáti:

  1. Thermalizace τ₁: τ₁ je „rychlá" degree of freedom, rovná se rovnovážné hodnotě pro každý φ. Pokud ale τ₁ osciluje přes celou periodu, jeho tepelný průměr by DAL změnu tvaru. Ale výpočet v §II.5 ukazuje, že oprava druhého řádu je malá.
  2. Projekce na stav minima V: podél trajektorie τ=i+δ, oscilace τ₁ jsou tlumené kvadraticky. Pokud se dynamika „drží" minima, V_eff je V(i+δ₂) jen, a tvar je stejný jako v IV.
  3. Nová modulárně-averaging technika (např. Rademacher expansion): možná existuje ne-triviální shrnutí modulárních forem, které by transformovalo H → H_T. To je nejbohatější kandidát ale vyžaduje literaturu v modular bootstrap methodologii (2D CFT).

VI. Závěr B4 (první průběh)

Tvrzení (po výpočtu): Paper v1.1.7 s T-modelem jako efektivním potenciálem je logicky konzistentní a nejspíš optimální volba. Redukce Stab(i) je axiom (A3 ≡ S-reflection), ne důsledek.

Status P8:

  • 🟢 interpretační uzávěr (A3′ ≡ Stab(i)-redukce; kauzální motivace z kauzalni-stred-lokalni-i.md).
  • 🔴 technická derivace T-modelu z plně modulární akce — výpočet IV ukazuje, že prostý modulární průměr to nedokáže. Alternativní redukční princip neidentifikován. Paper v1.1.7 není třeba měnit.

Doporučení pro paper:

  1. Nechat T-model jako postulovaný efektivní potenciál pro Stab(i)-pozorovatele.
  2. Reformulovat A3 → A3′ v paperu, s odkazem na p8-posledni-odraz-do-i.md.
  3. Problém P8 přeformulovat: nikoli „derivovat T-model z full modular V", ale „identifikovat redukční princip, který dává Stab(i)-efektivní teorii z plné PSL(2,ℤ)-invariantní mikroskopické dynamiky".

Honest flags

  • Výpočet v §II.3 (|η|² τ₁-průměr) je legitimní, ale kvadratická korekce v §II.5 byla naznačena, ne dotažena do čísla.
  • Klíčový argument §IV.2 (H_T není modulárně invariantní, jen ⟨S⟩) je pravděpodobně rigorózní — ale zaslouží si oddělený důkaz, že neexistuje žádná PSL(2,ℤ)-invariantní funkce s lineárním chováním v φ = ln τ₂ u cuspu. Intuice: modulární formy mají charakteristické q-expanze, které jsou exponenciální; lineární funkce φ by nebyla konzistentní s takovou strukturou. VYVRÁCENO (2026-07-15, externí recenze). Taková funkce existuje: ln H(τ), kde H je invariant použitý v §I.1 sám (H = −ln[τ₂|η(τ)|⁴]). H je modulárně invariantní ⇒ ln H je taky. U cuspu H ≈ (π/3)e^φ (§IV výpočet výše), tedy ln H ≈ φ + ln(π/3) — lineární v φ, přesně ten tvar, o kterém tento honest flag tvrdil, že neexistuje. Důsledek: potenciál Ṽ(τ) = Λ⁴tanh²[½ln(H(τ)/H₀)] je plně PSL(2,ℤ)-invariantní a přesto se blíží plató jednoduchou exponenciálou, ne dvojitou — reprodukuje Branch-A-podobné r ≈ 8λ/Nₑ² na leading order. Domněnka byla přegeneralizací: platí, že H samo (a jakýkoli přímý invariant s exponenciální q-expanzí) dává dvojitou exponenciálu, ale kompozice s dalším logaritmem tuto strukturu láme. Viz cusp-univerzalni-tridy.md pro klasifikaci.
  • Rademacher expansion jako kandidátní nová technika je spekulativní. Vyžaduje expertní znalost 2D CFT, kterou tento korpus zatím nemá.
  • Závěr o modulárním průměrování zůstává v platnosti (prosté průměrování přes τ₁-orbitu nemění tvar H, viz §IV.3) — to je nezávislé na vyvráceném bodu výše. Co padá, je širší tvrzení „žádná plně modulárně invariantní funkce nedá T-model": existuje (Ṽ výše), jen se k němu nedojde průměrováním H, nýbrž volbou jiné invariantní funkce téhož τ. T-model jako axiomatický efektivní potenciál pro Stab(i)-pozorovatele (§V, §VI) zůstává nezměněn jako nezávisle platný důvod k jeho přijetí.

Návaznost

← všechny poznámky