Cusp-univerzální třídy: klasifikace modulárně invariantních potenciálů podle chování u cuspu

Účel. Externí recenze (2026-07-15, k paperu tau-geometry-v12.tex) ukázala protipříklad, který vyvrací honest flag v b4-modularni-prumerovani.md: existuje plně PSL(2,ℤ)-invariantní potenciál s jednoduše-exponenciálním (ne dvojitě-exponenciálním) přiblížením k plató. „T-model (Branch A) vs. plně modulární dvojitá exponenciála (Branch B)" tedy není vyčerpávající dichotomie. Tento dokument organizuje pozorování do klasifikace podle cusp-řádu zvolené invariantní funkce a pojmenovává, co zbývá ověřit.

I. Protipříklad

Použijme invariant H(τ) = −ln[τ₂|η(τ)|⁴] už zavedený v b4-modularni-prumerovani.md §I a v paperu §V.2. U cuspu (τ₂ → ∞, φ = ln τ₂ → ∞):

$$H(\tau) \simeq \frac{\pi}{3}e^{\varphi} - \varphi ;\longrightarrow; \frac{\pi}{3}e^{\varphi}$$

Potenciál V = Λ⁴tanh²(H/2) je tedy dvojitě exponenciální v φ (H roste exponenciálně, tanh² z toho dá další vrstvu potlačení) — to je Branch B v paperu, r_B ≈ 1.4×10⁻⁵.

Uvažme místo toho Ṽ(τ) = Λ⁴tanh²[½ln(H(τ)/H₀)] — stejný invariant H, ale s dalším logaritmem před tanh². Protože H je modulárně invariantní a kladný (mimo diskrétní nuly, viz §IV), ln(H/H₀) je taky modulárně invariantní. U cuspu:

$$\ln\frac{H(\tau)}{H_0} \simeq \varphi + \ln\frac{\pi}{3} - \ln H_0 = \varphi + \text{const.}$$

Lineární v φ. Tedy Ṽ(φ) → Λ⁴tanh²[½(φ+c)] — přesně tvar T-modelu, s jednoduchým exponenciálním přiblížením k plató a r ≈ 8λ/Nₑ² na leading order (λ = normalizace kinetiky, viz lemma-poincare-uniqueness.md, A2⁺).

II. Proč to b4 domněnku vyvrací

b4-modularni-prumerovani.md §IV.2 formuloval honest flag: „lineární funkce φ by nebyla konzistentní" s q-expanzemi modulárních forem. To je pravda pro přímé modulární formy/invarianty (jejich q-expanze jsou exponenciální v φ z definice), ale neplatí obecně pro kompozice — logaritmus modulárně invariantní funkce je taky modulárně invariantní (invariance je vlastnost hodnoty funkce v bodě, ne jejího analytického typu), a logaritmus exponenciály je lineární. Domněnka byla přegeneralizací jednoho pozorování (H samo je exponenciální) na celou třídu modulárně invariantních funkcí.

Důležité: B4 negativní výsledek o průměrování zůstává v platnosti. Prosté τ₁-průměrování aplikované na fixní H nemůže změnit jeho tvar (b4 §IV.3, korektně). Co je nové, je že existuje jiná invariantní funkce téhož τ (ln H místo H), ne že by průměrování H samo dalo T-model.

III. Klasifikace podle cusp-řádu

Nechť F: ℍ² → ℝ₊ je PSL(2,ℤ)-invariantní funkce a V = Λ⁴tanh²(F/2) (nebo jiná plató-tvořící funkce F). Chování u cuspu určuje observační třídu:

Obecně, pokud 1 − V/V₀ ~ F^{−p} u cuspu (F rostoucí polynomiálně/lineárně v φ), dostáváme r ≈ 8λ/(p²Nₑ²) — standardní α-attractor škálování s efektivním p. Pokud 1 − V/V₀ ~ e^{−βF} s F samo exponenciální v φ, dostáváme dvojitou exponenciálu.

Organizující proměnná není „modulární vs. nemodulární" (obě sloupce tabulky jsou plně PSL(2,ℤ)-invariantní), ale cusp-řád zvolené funkce F — kolikrát je potřeba logaritmovat exponenciální q-expanzi, než se argument stane lineárním v kanonickém poli φ.

IV. Co zbývá ověřit (recenzentovy TODO, nepotvrzeno)

Ṽ = Λ⁴tanh²[½ln(H/H₀)] je kandidát, ne uzavřený výsledek. Otevřené body přesně podle recenze:

1. Regularita. H(τ) = −ln[τ₂|η(τ)|⁴] musí být kladné a hladké všude na ℍ² kromě cuspu, aby ln H nebylo singulární uprostřed fundamentální domény. Nekontrolováno zde.
2. Volba H₀. Ṽ obsahuje volný škálovací parametr H₀ (kde je „střed" tanh² přechodu) — na rozdíl od paperu H(τ) samo, kde plató je jednoznačně u cuspu. Zda H₀ je fixovatelné bezparametricky (analogicky Stab(i)-kotvě u Branch A), nebo je to nový volný parametr, je otevřené.
3. Globální minimum a graceful exit. Nekontrolováno — Ṽ mimo cusp-asymptotiku nebyla analyzována.
4. Stabilita τ₁. Stejně jako u standardního Branch A/B srovnání (paper §V), multi-field efekty (izokurvatura) nejsou zkontrolovány pro Ṽ.

Dokud tyto body nejsou uzavřeny, Ṽ je třetí kandidátní potenciál vedle Branch A (T-model, Stab(i)-postulát) a Branch B (H samo), ne náhrada za žádný z nich. Nemění závěr paperu (Branch A zůstává přijímaný postulát pro observer projection), ale ukazuje, že Branch B's potlačení r není nutným důsledkem plné modulární invariance — je to vlastnost konkrétní volby H.

V. Vztah k Theorem 4 (V_A = Λ⁴|j(τ)|)

Per Pravidlo 10 (dvouvrstvé rozlišení, ne konflace): theorem-4-m1-dyn-uzavreni.md pracuje s jiným potenciálem, V_A = Λ⁴|j(τ)|, a jinou dynamikou (oscilace/pád kolem sedla i do minima ρ přes A₅-kombinatoriku, Nₑ=60 jako index podgrupy — ne slow-roll od cuspu k plató). |j(τ)| samo diverguje u cuspu jako e^{2πτ₂} = e^{2π e^φ} (rychleji než H), takže by v tabulce §III patřilo do řádku „e^{e^φ} nebo rychlejší" — ale V_A se nepoužívá jako plató-potenciál pro slow-roll v tomto smyslu; je to jiný mechanismus se stejným α = 2/3 (dědí λ z A2⁺ stejně jako Branch A/B). Recenzentova λ-kritika (viz 00-roadmap.md A13) se tedy týká i Theorem 4: r = 2/900 je bezparametrické v Nₑ = 60 = |A₅|, ale ne v λ. Toto je poznámka, ne nová derivace — plné sjednocení Theorem 4 s cusp-klasifikací zde je mimo scope tohoto dokumentu.

VI. Status a návaznost

• §I–II (protipříklad + oprava b4): 🟢 formální — přímý výpočet, ověřitelný.
• §III (klasifikační tabulka): 🟡 kandidát — obecný vzorec r ≈ 8λ/(p²Nₑ²) je standardní slow-roll extrapolace, ne odvozený zde pro obecné p.
• §IV (otevřené kontroly Ṽ): 🔴 nekontrolováno, explicitně pojmenováno (Pravidlo 7).
• §V (vztah k Theorem 4): 🟡 poznámka, ne uzavřený výsledek.

Návaznost

• b4-modularni-prumerovani.md — honest flag zde opraven, odkaz zpět sem
• tau-geometry-v12.tex §V.2 — paragraf shrnující §I–II vložen do paperu
• lemma-poincare-uniqueness.md §O — λ-normalizace (A2⁺), sdílená mezera s 00-roadmap.md A13
• theorem-4-m1-dyn-uzavreni.md — V_A jako třetí, dynamicky odlišný modulárně invariantní potenciál (§V výše)
• 00-status.md — nový řádek pro tuto klasifikaci pending