2026-04-20 09:36 🟢 (historical) G5 redukován na sub-gap G5'; G5'… P17G5WilsonAllcockBaez-EganE10Cl91Spin91F4-20

G5 Wilson embedding — pokus o uzavření G5 blockeru P17

Plný status a historie aktualizací

Status:

🟢 (historical) G5 redukován na sub-gap G5'; G5' následně uzavřen scénářem α v g5-prime-commensurability.md (2026-04-20 pozdě) — tato esej je fáze 1, navazuje fáze 2

Historie aktualizací:

2026-04-20 09:36

Účel. Pokusit se o uzavření G5 (poslední genuine blocker pro plné 🟢 P17) přes literature review + algebraickou kompatibility check. G5 tvrdí: Allcockova reflection grupa Aut(K_Ω) na OH² a Clifford-aritmetická Γ_Ω ⊂ Spin(9,1) jsou stejná grupa (nebo komensurabilní přes konkrétní embedding). Výsledek: Scénář C — embedding existuje implicitně, ale explicit identifikace s Allcockovou grupou nikde v literatuře není, navíc obě grupy žijí na různých symetrických prostorech (OH² 16-dim vs H⁹ 9-dim), takže G5 se redukuje na konkrétní commensurability otázku, ne na čistou identifikaci. Pravidlo 7 dodrženo: residuál přesně pojmenován.

I. Rekapitulace G5

Claim G5 (z oktonicke-grupy-review.md §VII.5):

Allcockova Γ_Ω (reflection v Aut(K_Ω)) ↔ Clifford-aritmetická Γ_Ω (L_Ω v Cl(9,1)) izomorfismus arithmetic substrukur.

Oba rámce souhlasí na úrovni Lie algebry 𝔰𝔬(9,1), ale explicitní izomorfismus jejich arithmetic substrukur ne-trivialně vyžaduje most "Aut(J₃(𝕆_ℤ))-part sedící v Spin(9,1) ⊂ F₄^{(−20)}" ↔ "Clifford-aritmetická podgrupa generovaná L_ω pro ω ∈ Ω". Tento most není v literatuře.

Důsledek pro P17 core: bez G5 uzavření je Γ_Ω dvojznačný objekt — KRT má dvě nezávislé kandidátní konstrukce a P17 core deliverable "arithm. SL(2, Ω)" není canonical. Z p17-gaps-audit.md §IV.3: „G5 je jediný gap, který blokuje plné 🟢 P17."

Pracovní hypotéza k ověření: explicit Wilson 2009 embedding Ω → Cl(9,1) + kompatibility check s Allcock 1999 generátory.

II. Literature review

II.1 Provedené searchs (2026-04-20)

# Query Klíčové nálezy
1 "Wilson 2009 Octonions Leech lattice Clifford algebra embedding" Wilson 2009 (J. Algebra 322, 2186-2190) explicitně NEobsahuje Cl(9,1) embedding; paper je čistě o Leech lattice = (Ω)³ triples, ne o spinor/Clifford teorii
2 "integral octonions E8 Clifford algebra Cl(9,1) arithmetic" Hitzer 2024 (MMAS 47) extenduje Lasenby embedding na 3D/4D Clifford, ne na Cl(9,1); arXiv:2404.03487 dává tensor product Clifford ⊗ octonion, ale žádnou arithmetic strukturu
3 "Allcock reflection group OH2 Clifford identification" Allcock 1999 identifikace s Clifford-aritm. nepotvrzena; paper pracuje nad J₃(𝕆) Jordan algebrou, ne nad Cl(9,1)
4 "Spin(9,1) integral octonions lattice arithmetic generators" Klíčový nález: Baez-Egan 2014 (Integral Octonions Part 7) konstruuje explicit PSL(2, 𝕆) ≅ SO₀(9,1) jako symetrie E₁₀ lattice = 𝔥₂(𝕆_ℤ) self-adjoint 2×2 integral octonion matic
5 "E10 lattice octonion self-adjoint PSL(2,O) Allcock" Baez-Egan konstrukce potvrzuje PSL(2, 𝕆) = even part symetrií E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ); žádný direct crosslink na Allcock
6 "Aut(K) Allcock OH2 compare PSL(2,O) H9 commensurable" nulový výsledek — žádný paper explicitně srovnávající Allcock Aut(K_Ω) s Baez-Egan PSL(2, 𝕆) v literatuře neexistuje
7 "octave hyperbolic plane hyperbolic 9-space F4(-20) Spin(9,1)" Potvrzeno: OH² = F₄^{(-20)}/Spin(9), 16-dim, signature (16,0); H⁹ je 9-dim s SO(9,1) akcí — dva různé symetrické prostory
8 "Elkies Gross exceptional cone Leech lattice E8 octonions" Elkies-Gross 1996 (IMRN 665-698) dostupné jen za paywall; související Elkies-Gross 1997 (Pacific J. Math.) a 2001 (Duke Math.) o "embeddings into integral octonions" a "cubic rings + exceptional Jordan algebra" pokrývají J₃(𝕆)-aritmetiku, ne Cl(9,1)-embedding
9 "Gross Nebe arithmetic of E8 integral octonions" nulový výsledek — paper s tímto názvem neexistuje v takto kombinované formě

II.2 Shrnutí literárního pole

Tři disjunktní literární nitě kolem G5:

(A) Jordan-algebraické — Allcock 1999 + Baily 1970 + Krieg 1997 + Kim-Yamauchi 2025

  • Pracuje nad J₃(𝕆) exceptional Jordan algebrou
  • Dává Aut(K_Ω) jako reflection grupu na OH² = F₄^{(-20)}/Spin(9) (16-dim)
  • F₄^{(-20)} je 52-dim Lie grupa, plná izometrie OH²
  • Arithm. substruktura v J₃(𝕆_ℤ) koeficientech

(B) Spinor-Clifford — Baez 2002 + Baez-Huerta 2010 + Furey 2014/2018 + Stoica 2018

  • Pracuje nad Cl(1,9) ≅ ℝ(32) asociativní algebrou
  • 𝕆 vstupuje přes levou multiplikaci L_ω jako vektorový generátor Cl(0,7)
  • Arithm. substruktura v ψ ∈ S_Ω 32-real spinor reprezentaci
  • Spin(9,1) = 45-dim podgrupa F₄^{(-20)}

(C) Hyperbolic-9-space — Baez-Egan 2014 + Sudbery 1984 + Manogue-Schray 1993

  • Pracuje nad E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ) Lorentzian lattice (2×2 self-adjoint integer octonion matrices)
  • PSL(2, 𝕆) ≅ SO₀(9,1) acting on H⁹ (9-dim hyperbolic space)
  • Arithm. substruktura PSL(2, 𝕆_ℤ) jako "even part" symetrické grupy E₁₀

Klíčové strukturní pozorování: (A) a (C) žijí na DIFFERENT symetrických prostorech.

  • Allcock Aut(K_Ω) acts on OH² (16-dim, F₄^{(-20)})
  • Baez-Egan PSL(2, 𝕆) acts on H⁹ (9-dim, SO(9,1))

OH² a H⁹ nejsou stejné prostor; F₄^{(-20)} ⊃ Spin(9,1) je strict inclusion, akce Spin(9,1) na OH² je netranzitivní (tranzitivní jen na hranici S⁹, viz oktonicke-grupy-review.md §IV řádek 109).

Důsledek: G5 claim "Allcock Γ_Ω = Clifford-aritmetická Γ_Ω" byl v oktonicke-grupy-review.md formulován příliš optimisticky. Korektní reformulace: obě grupy jsou arithmetic subgroups různých nadgrup (F₄^{(-20)} vs Spin(9,1)), a otázka není identifikace, ale commensurability přes inkluzi Spin(9,1) ⊂ F₄^{(-20)}.

III. Konkrétní nález — Scénář C

III.1 Co existuje explicitně

Baez-Egan 2014 konstrukce (nit C):

$$\mathfrak{h}_2(\mathbf{O}) = \left{ \begin{pmatrix} a & b \ b^* & c \end{pmatrix} : a, c \in \mathbb{Z},\ b \in \Omega \right}, \qquad -\det M = |b|^2 - ac$$

je E₁₀ Lorentzian lattice. Symetrická grupa (determinant ±1) má even part PSL(2, 𝕆_ℤ) ≅ SO₀(9,1). Tento izomorfismus není zcela rigorózně dokázaný v literatuře (Baez 2014 explicitně říká „a more conceptual proof would be nice"), ale je ověřený přes uniqueness E₁₀ lattice + dimenze dopočet.

Toto je de facto Clifford-aritmetická Γ_Ω v slabším smyslu: PSL(2, 𝕆_ℤ) působí přes Mobius-typed transformace g·M·g* na 𝔥₂(𝕆_ℤ). To není přes Cl(9,1) L_ω explicit embedding, ale strukturně ekvivalentní — SO₀(9,1) akce přes determinant-preserving transformations na 10-dim Lorentzian signature (1,9).

Allcock 1999 konstrukce (nit A):

K_Ω = integrální forma J₃(𝕆), prvky jsou 3×3 Hermitian matice nad Ω s ℤ-koeficienty na diagonále. Aut(K_Ω) je generována oktonion reflections v hyperplanes orthogonal k minimálním vektorům K_Ω. Akce je na OH² = F₄^{(-20)}/Spin(9).

III.2 Co NEexistuje explicitně

  1. Explicit Wilson 2009 embedding Ω → Cl(9,1). Wilson paper neobsahuje žádné spinor/Clifford konstrukce. Ty jsou v Baez 2002 §4 (L_ω generuje Cl(0,7)) a Baez-Huerta 2010 (Γ_v block matrix s L_x), ale ne jako arithmetic embedding Ω_ℤ → Cl(9,1)_ℤ. Embedding na úrovni ℝ-algebry je rutinní (L_ω : ℝ⁸ → ℝ⁸ pro každý ω ∈ 𝕆 je 8×8 matice); embedding na úrovni celočíselných aritmetik vyžaduje extra work.

  2. Explicit identifikace Allcock Aut(K_Ω) ↔ Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ). Allcock's acting on J₃(𝕆_ℤ) prvek-na-prvek je 3×3-matrix-level. Baez-Egan acting on 𝔥₂(𝕆_ℤ) Mobius-style je 2×2-matrix-level. Strukturní rozdíl je hluboký: 3×3 Jordan algebraic action (F₄-cover) vs. 2×2 linear action (SO(9,1)-cover).

  3. Commensurability check Spin(9,1) ⊂ F₄^{(-20)} na úrovni arithm. substruktur. Literatura Grunewald-Nebe-type neexistuje pro F₄^{(-20)} přímo (máme jen přes Baily E₇,₃-typed framework).

III.3 Klasifikace: Scénář C (částečně redukováno)

Ve smyslu zadání (Scénář A = Wilson embedding existuje → uzavření; B = alternativní paper poskytuje; C = existuje implicitně, explicit chybí):

Výsledek: Scénář C.

  • Clifford-aritmetická Γ_Ω existuje implicitně přes Baez-Egan 2014 konstrukci (PSL(2, 𝕆_ℤ) ≅ SO₀(9,1))
  • Allcock Aut(K_Ω) existuje explicitně (Allcock 1999)
  • Explicit identifikace / commensurability nikde
  • Pravděpodobný vztah (na základě struktury): Allcock Aut(K_Ω) je rozšíření Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) na F₄^{(-20)}-nadgrupu, přesněji Aut(K_Ω) je reflection subgroup F₄^{(-20)} a Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) je arithm. podgrupa Spin(9,1) ⊂ F₄^{(-20)}. Průnik na Spin(9,1) je reálný kandidát pro "canonical Γ_Ω KRT P17".

IV. Algebraická kompatibilita (attempt)

IV.1 Co lze ověřit bez další literatury

Ověření 1: Dimenze-compatibility.

  • Spin(9,1) dim = 45
  • F₄^{(-20)} dim = 52
  • Rozdíl = 7 = dim(𝕆_imag) ✓ (G₂-orbit of imaginary octonion directions = 6-sphere S⁶ ⊂ Im 𝕆 plus radial dim)
  • Konzistentní s KRT volbou ℂ ⊂ 𝕆 (P8): fixace i ∈ Im 𝕆 redukuje F₄^{(-20)} → grupa zachovávající i

Ověření 2: Cover degree.

  • SO₀(9,1) → Spin(9,1) je 2-cover (π₁ = ℤ/2)
  • Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) pokrývá SO₀(9,1); SL(2, 𝕆_ℤ) by bylo Spin(9,1)-cover, ale kvůli neasociativitě 𝕆 není standardně definovatelná (viz oktonicke-grupy-review.md §III řádek 82 o Baez 2002 §3.3 §4.3)
  • Důsledek: "Clifford-aritmetická Γ_Ω v Cl(9,1)" KRT framework je precisely analog SL(2, 𝕆_ℤ) obchodovaný přes L_ω dodge — ψ žije ve 32-real Clifford reprezentaci místo 𝕆²
  • Allcock Aut(K_Ω) je orbifold subgroup F₄^{(-20)}, ne jeho Spin cover (Allcock pracuje na úrovni F₄^{(-20)} ne Spin-cover)

Ověření 3: Covolume.

  • Allcock Aut(K_Ω) má finite covolume v F₄^{(-20)} (Allcock 1999 Theorem 1)
  • Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) má finite covolume v SO₀(9,1) (klasika, Borel-Harish-Chandra type)
  • Oba jsou arithmetic subgroups, pro commensurability bychom ale potřebovali ukázat, že jejich průnik na Spin(9,1) má finite index v obou — to není v literatuře

IV.2 Co nelze ověřit v rámci této session

Ne-trivialní algebraický check: vypočítat explicit generator set Aut(K_Ω) jako podmnožinu 2×2 integer octonion matrix transformations (Baez-Egan form). Allcock dává reflection generators ve formě octonion reflection matic na 3×3 Jordan J₃(𝕆_ℤ); Baez-Egan dává translations T_b a inversion S na 𝔥₂(𝕆_ℤ). Shoda generátorů vyžaduje redukci J₃(𝕆_ℤ) → 𝔥₂(𝕆_ℤ) přes "dropping third row/column" projekci, a ta není v literatuře dokázaná jako grupový homomorphism (je to jen vector space projekce).

Konkrétní odhad práce: 1-2 týdny originální mat. Složky:

  • Check, zda 2-row-column projekce J₃(𝕆_ℤ) → 𝔥₂(𝕆_ℤ) commuts s působením Aut(K_Ω) (ano/ne bit)
  • Pokud ano: obraz Aut(K_Ω) v PSL(2, 𝕆_ℤ) je kandidát pro explicit commensurable subgroup
  • Pokud ne: Allcock a Baez-Egan konstrukce jsou nezávislé arithmetic subgroups Spin(9,1) a KRT musí vybrat jednu jako canonical (P17 už vybrala Clifford-aritmetickou = Baez-Egan-style)

IV.3 Status po algebraické kompatibility attempt

  • ✅ Dimenze ověřeny (F₄^{(-20)}/Spin(9,1) rozdíl = 7, kompatibilní s P8)
  • ✅ Cover-degree inkonzistence identifikována (Allcock je orbifold, Baez-Egan je arithm. podgrupa)
  • ✅ Covolume oba konečný, ale commensurability-check chybí
  • ❌ Explicit generator matching neproveditelný bez originální práce

V. Honest flags + status update

V.1 Honest flags (Pravidlo 8)

Flag 1. G5 byl v oktonicke-grupy-review.md §VII.5 formulován s implicitní hypotézou, že Allcock a Clifford-aritmetická konstrukce žijí na stejné nadgrupě. Toto je nekorektní: Allcock žije na F₄^{(-20)} (přes J₃(𝕆_ℤ)), Clifford-aritmetická žije na Spin(9,1) (přes Cl(9,1) / Baez-Egan 𝔥₂(𝕆_ℤ)). Jsou to arithm. podgrupy dvou různých nadgrup s inkluzí Spin(9,1) ⊂ F₄^{(-20)}.

Flag 2. KRT vylučuje hypotézu „Allcock Γ_Ω = Clifford-aritmetická Γ_Ω jako stejná grupa". Maximum co lze tvrdit v literatuře dostupné je "commensurable na Spin(9,1)-part", a ten claim vyžaduje ověření.

Flag 3. Wilson 2009 paper je nesprávně citován v oktonicke-grupy-review.md §VII.5 ("další krok") jako "výchozí bod pro explicit embedding Ω → Cl(9,1) přes E₈ root lattice". Wilson 2009 nemá Clifford/spinor content; je o Leech lattice = (Ω)³-triples geometrie, ne o spinor embedding. Retro-oprava nutná.

Flag 4. Scénář C residuál není 1-2 týdny "čisté matematiky" v tom smyslu, že by byl konkrétně známý open problem. Je to samostatná otázka commensurability dvou arithmetic subgroups v F₄^{(-20)} a vyžaduje znalost jak Jordan-algebraického aparátu (Aut(K_Ω) J₃(𝕆_ℤ)-action), tak 2×2 Mobius aparátu (PSL(2, 𝕆_ℤ) H⁹-action), plus most mezi J₃(𝕆_ℤ) a 𝔥₂(𝕆_ℤ) přes 3→2 projekci. Je to reálná research-level otázka.

V.2 Status update — G5

Původní status (z oktonicke-grupy-review.md §VII.5):

Status 2026-04-20 (e): zůstává otevřeno — Allcock 1999 pracuje nad Coxeter-Dicksonovou mřížkou Ω v Jordanově kontextu J₃(𝕆); Clifford-aritmetická volba (L_Ω v Cl(9,1) přes L_ω generátory) je Baez-Huerta/Furey framework. Oba rámce souhlasí na úrovni Lie algebry (𝔰𝔬(9,1)), ale explicitní izomorfismus jejich arithmetic substrukur ne-trivialně vyžaduje most (...) Tento most není v literatuře.

Nový status (2026-04-20 pozdně, po tomto auditu):

Status 2026-04-20 (e-update): strukturně opraveno, redukováno na commensurability sub-gap — G5 původní formulace "Allcock Γ_Ω ↔ Clifford-aritm. Γ_Ω jako stejná grupa" byla nepřesná. Allcock Aut(K_Ω) žije na F₄^{(-20)} (52-dim, akce na OH² 16-dim), Clifford-aritmetická Γ_Ω žije na Spin(9,1) (45-dim, akce na H⁹ 9-dim). Jsou to arithm. podgrupy dvou různých nadgrup. Navíc Baez-Egan 2014 (Integral Octonions Part 7) dává explicit konstrukci Clifford-aritmetické části jako PSL(2, 𝕆_ℤ) ≅ SO₀(9,1) acting on E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ) — tato konstrukce obchází Wilson 2009 nutnost (Wilson paper je o Leech, ne o Clifford embedding). Zbytkový sub-gap G5': commensurability Allcock Aut(K_Ω) ∩ Spin(9,1) s Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) jako arithm. podgrupy Spin(9,1). To je konkrétní research-level otázka, odhad práce 1-2 týdny, vyžaduje ověření 3×3 Jordan → 2×2 Hermitian projekce grupového homomorfismu. KRT P17 core pracuje s Baez-Egan/Clifford-aritmetickou volbou, která je explicitně konstruovaná; Allcock je alternativní volba, jejíž vztah je otevřený. Eliminační klauzule: KRT vylučuje hypotézu "Allcock = Clifford-aritmetická jako stejná grupa"; přípouští hypotézu "commensurable na Spin(9,1)-průniku", bez důkazu.

V.3 Aktualizace pro p17-gaps-audit.md §IV.3

Původní text (§IV.3 řádek 205):

  1. (G5) Allcock ↔ Clifford-aritmetická identifikace — nejvyšší priorita. (...) Uzavření vyžaduje explicit embedding Ω → Cl(9,1) přes Wilson 2009 + Coxeter 1946 + srovnání generator sets. Odhadovaná práce: 1-2 týdny pro samostatného algebraikovi; vyžaduje technickou práci, ne jen literature review.

Nová formulace (navržená po tomto auditu):

  1. (G5') Allcock ↔ Baez-Egan commensurability na Spin(9,1) — redukovaná priorita. Původní G5 byl strukturně nepřesný; po reframování je otázka: commensurable-li je Allcock Aut(K_Ω) ∩ Spin(9,1) s Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) jako arithm. subgroups Spin(9,1). Wilson 2009 je falešná stopa — jeho paper nemá Clifford content. Správná literární nit: Baez-Egan 2014 (Integral Octonions Part 7) dává Clifford-aritm. konstrukci explicitně, Allcock 1999 dává Aut(K_Ω) explicitně, chybějící most je 3×3 → 2×2 Jordan-to-Hermitian projection jako grupový homomorfismus. Odhadovaná práce: 1-2 týdny. Nenajde-li se commensurability, KRT canonical volba je Baez-Egan/Clifford-aritmetická (P17 core intakt).

V.4 Plné 🟢 P17 status

Před auditem: 🟢 core s pojmenovaným blockerem G5 (jediný genuine blocker).

Po fázi 1 (tato esej, 2026-04-20): 🟢 core s redukovaným blockerem G5' (commensurability sub-gap, řešitelný ~1-2 týdny). Clifford-aritmetická (Baez-Egan) volba je canonical a explicitně konstruovaná přes E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ), takže P17 core deliverable "arithm. SL(2, Ω) přes Clifford-aritmetickou konstrukci" má konkrétní instanci, ne jen abstraktní existence-claim.

Po fázi 2 (g5-prime-commensurability.md, 2026-04-20 pozdě): 🟢 core bez blockerů. G5' uzavřen scénářem α přes Jordan corner stabilizátor argument (Stab$_{F_4^{(-20)}}$(ι(𝔥₂)) = Spin(9,1), Borel-Harish-Chandra commensurability). Původní 1-2 týdny odhadu zredukovány na session work přes strukturální argument (Jordan algebra standardní literatura, ne originální mat).

Zlepšení: předchozí "otevřený blocker" je nyní "rafinovaný na konkrétní commensurability question" a ta commensurability je prokázána. KRT P17 core je stabilnější, protože Baez-Egan konstrukce (2014) byla identifikována jako explicit canonical volba, a vztah k Allcock je uzavřen jako triality-extension (strukturní bonus: tři generace fermionů).

VI. Retro-opravy korpusu (AXIOM 1)

Tato esej vyžaduje retro-opravy:

  1. oktonicke-grupy-review.md §IV řádek 117-119 (Clifford-aritmetická volba): přidat reference na Baez-Egan 2014 jako primární literární basis; Wilson 2009 odstranit jako neexisting basis.

  2. oktonicke-grupy-review.md §VII.5 (G5): aktualizovat Status (e) na Status (e-update) per §V.2 výše; Wilson 2009 "výchozí bod" retro-opravit na Baez-Egan 2014.

  3. p17-gaps-audit.md §III G5 (řádek 115-123): aktualizovat claim + literaturu + další krok per §V.3 výše.

  4. p17-gaps-audit.md §IV.3 prioritizace: G5' redukovaná priorita (commensurability check ne blocker).

  5. p17-gaps-audit.md §V Reference: přidat Baez-Egan 2014 (Integral Octonions Part 7 blog post, n-Category Café).

  6. dirac-v-octonionech.md §II: zvážit přidání Baez-Egan 2014 jako alternativní explicit konstrukci Γ_Ω (doplněk k Baez-Huerta 2010 L_ω dodge).

VII. Závěr

G5 není uzavřen v této session ve smyslu úplného důkazu Allcock = Clifford-aritmetická identifikace. Ale:

  1. G5 claim byl strukturně opraven. Původní formulace implicitně předpokládala identifikaci dvou grup na stejné nadgrupě; to je nepřesné (F₄^{(-20)} vs Spin(9,1)).

  2. Clifford-aritmetická Γ_Ω je nyní explicitně konstruovaná přes Baez-Egan 2014, ne abstraktní dodge přes L_ω; E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ) je konkrétní lattice s SO₀(9,1)-akcí, ne jen claim.

  3. Wilson 2009 je falešná stopa. Paper neobsahuje Clifford embedding; KRT korpus musí retro-opravit references.

  4. Zbývající sub-gap G5' je konkrétní commensurability otázka: Allcock Aut(K_Ω) ∩ Spin(9,1) vs. Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ) jako arithm. subgroups Spin(9,1). Odhad práce: 1-2 týdny, vyžaduje 3×3 Jordan → 2×2 Hermitian group homomorphism check.

  5. P17 core status: zpřesněn, ne ohrožen. Clifford-aritmetická volba je canonical; G5' je otevřený research sub-gap, ne blocker core deliverable.

Scénář klasifikace: C (embedding implicitně existuje přes standardní konstrukce — Baez-Egan 2014 v tomto případě konkrétně — ale explicit identifikace s Allcockovou reflection grupou nikde; je to research-level otázka).

Status G5 (updated 2026-04-20): 🟡 redukován na commensurability sub-gap G5', ne uzavřen, ne blocker core P17.

Pravidlo 7 dodrženo: residuál přesně pojmenován (commensurability Allcock Aut(K_Ω) ∩ Spin(9,1) s Baez-Egan PSL(2, 𝕆_ℤ), konkrétní research otázka).

Pravidlo 8 dodrženo: KRT vylučuje identifikaci-as-equality; připouští commensurability hypotézu bez důkazu.

Reference:

  • Allcock 1999, Reflection groups on the octave hyperbolic plane, J. Algebra 213, 467-498. PDF
  • Baez 2002, The Octonions, Bull. AMS 39, 145-205 (arXiv:math/0105155), §3.3, §4.1-4.3.
  • Baez-Huerta 2010, Division Algebras and Supersymmetry I, arXiv:0909.0551, §3-4.
  • Baez-Egan 2014, Integral Octonions Part 7 (n-Category Café, Nov 2014), link — explicit E₁₀ = 𝔥₂(𝕆_ℤ) konstrukce a PSL(2, 𝕆_ℤ) ≅ SO₀(9,1).
  • Conway-Smith 2003, On Quaternions and Octonions, AK Peters, ch. 9-11.
  • Coxeter 1946, Integral Cayley Numbers, Duke Math. J. 13, 561-578.
  • Elkies-Gross 1996, The exceptional cone and the Leech lattice, IMRN 1996 #14, 665-698. Oxford Academic
  • Furey 2014, Generations: three prints, in colour, arXiv:1405.4601.
  • Hitzer 2024, Extending Lasenby's embedding of octonions in space-time algebra Cl(1,3), Math. Meth. Appl. Sci. 47, 1401-... — NEobsahuje Cl(9,1).
  • Manogue-Schray 1993, Finite Lorentz transformations, J. Math. Phys. 34, 3746-3767.
  • Sudbery 1984, Division algebras, (pseudo)orthogonal groups and spinors, J. Phys. A 17:939.
  • Wilson 2009, Octonions and the Leech lattice, J. Algebra 322, 2186-2190. revised PDF — NEobsahuje Cl(9,1) embedding; retroaktivně odstraněn z G5 reference chain.
← všechny poznámky