K2 — Z(Mp) na weight-½ Γ(5) modulárních formách

Teze. Střed metaplektické grupy Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4 (generováno Z = S̃²) působí na M_{1/2}(Γ(5)) (přes vnoření Γ(5) ⊂ Γ₀(20)) jako unitární operátor s eigenvalues {+1, +i, −1, −i}. Čtyři eigenspaces odpovídají sektorům {Kohnen plus / spinor-up / parity-flip / spinor-down}. Jacobiho θ-funkce leží v −i sektoru (fermionický), ne v Kohnen plus — netriviální výsledek proti naivní intuici. Faktor 4 v S ≤ A/(4ℓ_P²) je součet přes všechny čtyři χ_k-kanály = |Z(Mp)|, ne jednotlivá eigenvalue.

Terminologická poznámka. "Klein quintic" v názvu = modulární křivka X(5) = ℍ²/Γ(5) (rod 0, 12 cuspů, Galois cover PSL(2,5) ≅ A₅ řádu 60), ne Kleinova quartická křivka X(7).

§I Pozice K2 v mostě 2I ↔ Mp(2,ℤ)

K2 je druhý ze čtyř zápisových kroků most-2I-Mp-klic.md §VI.2:

• K1 (k1-mp-sl25-generatory.md): maticová kompozice Mp ↠ SL(2,5) na S, T. ✓
• K2 (zde): eigenvalue rozklad Z(Mp) na weight-½ Γ(5).
• K3 (k3-60-kosetu-60-efoldingu.md): 60 kosetů ↔ 60 e-foldings.
• K4 (k4-tangencialni-osy-weil-polarizace.md): 2 tang osy ≡ 2 Weil polarizace. ✓

§II Střed Mp(2,ℤ) a jeho akce

Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4, generováno Z = S̃². Ve Weilově rep na L²(ℝ):

$$Z f(x) = -i \cdot P f(x) = -i \cdot f(-x)$$

$$Z^2 = -\mathrm{id}, \quad Z^4 = +\mathrm{id}$$

Eigendekompozice M_{1/2}(Γ(5)) = ⊕_{k=0}^3 M^{(k)}_{1/2}(Γ(5)) kde M^{(k)}_{1/2}(Γ(5)) = {f : Zf = i^k f}. Každá komponenta odpovídá charakteru χ_k : Z(Mp) → ℂ*, χ_k(Z) = i^k.

Dvě dichotomie twistované Weil kocyklem:

1. Parity P (even/odd pod x ↦ −x)
2. Fourier-Gauss fáze (±i z Weil cocyclu)

Twist → cyklus ℤ/4, ne V₄ = ℤ/2 × ℤ/2.

§III Weight-½ modulární formy (Shimura 1973, Kohnen 1980)

Definice (Shimura 1973, §I). f : ℍ² → ℂ je váhy ½ na Γ₀(4N), pokud pro každé γ = ((a,b),(c,d)) ∈ Γ₀(4N):

$$f!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = j(\gamma, \tau), f(\tau)$$

kde j(γ, τ) = ε_d⁻¹ (c/d) (cτ+d)^{1/2} je Shimurův multiplikátor. Multiplikátor j je přesně lift SL(2,ℤ) → Mp(2,ℤ) (dvojice (γ, √(cτ+d)) s výběrem znaménka).

Vnoření úrovně 5: Γ(5) ⊂ Γ₁(5) ⊂ Γ₀(5), Γ₀(5) ∩ Γ₀(4) = Γ₀(20). Weight-½ formy na Γ(5) jsou podprostor M_{1/2}(Γ₀(20), χ) s vhodným Nebentypus χ trivial na jádru Γ(5).

Kohnen plus-space (Kohnen 1980):

$$S^{+}{k+1/2}(\Gamma_0(4)) = { f \in S{k+1/2}(\Gamma_0(4)) : a_n(f) = 0 \text{ pro } (-1)^k n \equiv 2, 3 \pmod 4 }$$

Izomorfní (Shimura-Kohnen-Zagier lift) S_{2k}(SL(2,ℤ)) = cusp formy celé váhy 2k. Pro 4N = 20: analogický S⁺_{1/2}(Γ₀(20)) existuje (Kohnen 1982, Skoruppa-Zagier 1988).

§IV Tabulka rozkladu

Interpretace:

• χ₀ (+1): Kohnen plus-space S⁺_{1/2}(Γ₀(20)), Shimura-Kohnen lift do vyšší váhy. Klasická QM/Schrödinger komponenta.
• χ₁ (+i), χ₃ (−i): anti-Kohnen, a_n ≠ 0 pro n ≡ 2,3 mod 4. Spinorové sektory, fermionické, nepředstavitelné v ℂ-QM.
• χ₂ (−1): parity-flip plus, Nebentypus (−1)^k χ_twist.

§V Jacobiho θ leží v χ₃, ne χ₀

Nečekaný výsledek. Jacobiho theta θ(τ) = Σ_{n∈ℤ} q^{n²/2} transformuje pod S jako:

$$\theta(-1/\tau) = (-i\tau)^{1/2} \theta(\tau)$$

Aplikace Z = S̃² s Weil kocyklem:

$$Z \theta(\tau) = -i \cdot \theta(\tau)$$

Tedy θ ∈ χ₃ (−i), spinor-down sektor, ne Kohnen plus χ₀. Projektor Π_0 = (1/4) Σ_{k=0}^3 i^{-k} Z^k aplikovaný na θ dává nulu — θ nemá χ₀-komponent.

Důsledek: Kohnen plus-space není generován θ přímou restrikcí, vyžaduje parity-twist (multiplikace Nebentypus charakterem). Explicit reprezentant χ₀ z jiné weight-½ formy (např. θ(4τ) nebo theta s nebentypus).

§VI Identifikace faktoru 4 v Bekensteinově boundu

Tři stopy P13 (ikosaedrální, iterated cover, ℍ-ortogonální) konvergují k 4 = |Z(Mp)|. K2 přidá obsah:

Každá Planckova cela na horizontu nese 4 nezávislé spinorové mody, po jednom ve každém z χ_k-eigenspaces. Bekensteinova entropie je součet:

$$S_{\text{total}} = \sum_{k=0}^{3} S^{(k)} = |\mathbb{Z}/4| \cdot \frac{A}{\text{Heisenberg bit}}$$

Faktor 1/4 v S_BH = A/(4ℓ_P²) = 1 / |Z(Mp)| = 1/(2 polarizace × 2 spin-½ polarity).

Odpověď "která eigenvalue odpovídá klasickému Bekensteinovi": všechny čtyři paralelně; 4 = |μ_4|. Hawkingův termální výpočet vidí jen χ₀ (Kohnen plus, bosonický); ostatní tři jsou quantum hair (konzistentní s P13 §IV.2 čtením Hawking paradoxu).

§VII Mosty

• K1 k1-mp-sl25-generatory.md: Z projektuje do Z(SL(2,5)) = ⟨−I⟩ ≅ ℤ/2; kernel ℤ/2.
• K3 k3-60-kosetu-60-efoldingu.md: každý koset × 4 eigenspaces = 60 × 4 = 240 cover-steps.
• K4 k4-tangencialni-osy-weil-polarizace.md: 2 × 2 = 4 = polarizace × parity; twistováno kocyklem do ℤ/4.
• P12a (🟢): Mp ≡ ℍ-refinement PSL; K2 je explicitní rozklad na úrovni 5.
• P14 (🟢 core): Cl(1,3) ≅ ℍ(2) spinor, 4 komponenty ↔ 4 χ_k-sektory.
• P12b p12b-sqrt2-ii-32.md: exponent 16π = 4 × 4π, kde vnější 4 = |Z(Mp)|. Nezávislá cesta k P12b derivaci.

§VIII Pod-mezery (Pravidlo 7)

K2a. Přesná dim M^{(k)}_{1/2}(Γ(5)) pro k = 0, 1, 2, 3. Cohen-Oesterlé 1977 formule; SageMath ModularForms(Gamma0(20), weight=QQ(1)/2). Odhad 1–2 dny.

K2b. Explicitní Kohnen plus-space na úrovni 20: bazické formy (analog θ_3). Rankin-Cohen bracket + theta-lift. Odhad ~1 týden.

K2c. Korespondence χ_k ↔ Dirac komponenty (§VI tabulka): volba χ₀ ↔ ψ_L up je strukturní, ne derivovaná. Derivace z γ⁵ v Weil rep a srovnání s S̃² = Z. Odhad 2–3 dny.

K2d (⚠ klíčová). Faktor 4 v S ≤ A/(4ℓ_P²) = |Z(Mp)| rigorózně. Eliminační klauzule 🔴: cesta selže, pokud dim M^{(k)}_{1/2}(Γ(5)) není rovnoměrná přes k = 0, 1, 2, 3 (když χ₀ dominuje a χ₃ má dim 0, faktor 4 = iluzorní). Cesta uzavření: formalizovat Heisenbergův bit na horizontu jako buňku fázového prostoru, ověřit, že je 4× menší než ℏ/(2π) kvůli Z(Mp)-ekvivariance. Odhad 1–2 týdny.

§IX Shrnutí

K2: Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4 dává rozklad M_{1/2}(Γ(5)) na čtyři eigenspaces {+1, +i, −1, −i} = {Kohnen plus, spinor-up, parity-flip, spinor-down}. Jacobiho θ leží v χ₃, ne χ₀. Faktor 4 v Bekensteinově boundu = |Z(Mp)| (suma všech čtyř kanálů); projektor Π_0 = (1/4)Σi^{-k}Z^k izoluje Kohnen plus. Status 🟡; klasické komponenty (Weil 1964, Shimura 1973, Kohnen 1980) rigorózní; čtyři pod-mezery K2a–K2d.

§X Reference

• Weil, A. (1964). Acta Math. 111, 143–211.
• Shimura, G. (1973). Ann. Math. 97, 440–481.
• Kohnen, W. (1980). Math. Ann. 248, 249–266.
• Kohnen, W. (1982). J. Reine Angew. Math. 333, 32–72.
• Skoruppa-Zagier (1988). Invent. Math. 94, 113–146.
• Folland, G. (1989). Harmonic Analysis in Phase Space. Princeton UP, §1.3.
• Bruinier, J. H. (2002). Borcherds products on O(2,ℓ). LNM 1780.
• Cohen-Oesterlé (1977). LNM 627.
• Klein, F. (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder. Teubner.