2026-04-20 13:10 🟡 strukturální kandidát, bez číselného fitu metaplecticMp2ZthetaWeilShimurahalf-integer-weightabsolute-scalespinorP12

Metaplektický kandidát Mp(2,ℤ) pro absolutní hmotnostní škálu

Teze. Samotná PSL(2,ℤ) je dimenzionálně prázdná — nenese absolutní hmotnostní škálu, pouze poměry mezi modulárně ekvivalentními body. Spinor-pozorovatel (pozorovatel-je-spinor.md) fyzicky vyžaduje double cover SU(2) → SO(3), což algebraicky odpovídá přechodu k metaplektické grupě Mp(2,ℤ) → SL(2,ℤ). Tato esej strukturálně prozkoumává hypotézu, že absolutní lept. škála (m_e vs. M_Planck, řádově 10⁻²²) sedí v Mp(2,ℤ), ne v PSL(2,ℤ).

Výsledek: 🟡. Mp(2,ℤ) strukturálně umožňuje absolutní škálu (Shimurovy half-weight formy, theta funkce, Weil reprezentace, Chowla–Selberg Γ(1/4) v CM bodech), což PSL(2,ℤ) samotná nedokáže. Konkrétní numerický fit m_e/M_Pl ~ 10⁻²² však v tomto timeboxu nevyšel — nejjednodušší kandidát |η(i)|^N vyžaduje N ≈ 195 (ne strukturní), eta-based formy přes CM body nedávají přirozené celé exponenty, a theta funkce nemají dostatečný dynamický rozsah bez ad-hoc volby parametrů. Kandidát zapsán jako open problem P12.

I. Motivace: proč PSL(2,ℤ) nestačí

Paper draft v1 (Theorem 1, Poincaré uniqueness lemma) stojí na PSL(2,ℤ)-invarianci efektivní akce. Tato grupa je diskrétní podgrupa SL(2,ℝ) / {±I}: její reprezentace generují modulární formy sudých vah 2k, k ∈ ℤ (E₄, E₆, Δ = η²⁴, j-invariant). Všechny tyto formy jsou bezrozměrné po normalizaci — j(τ) je ryze funkční, η(τ) nese jen q-rozvoj.

Tři pozorování, že samotná PSL(2,ℤ) je dim-ful prázdná:

  1. Škálovací invariance. Pod τ → τ je action zcela agnostická vůči volbě jednotky délky — field-space je ℍ², bez vnitřního metru kromě Poincarého (a ten je až na globální konstantu, viz lemma-poincare-uniqueness.md §II).
  2. CM hodnoty rozumných forem. |η(i)| = Γ(1/4)/(2π^(3/4)) ≈ 0.7682; |j(i)| = 1728; |Δ(i)| = (2π)¹² · |η(i)|²⁴. Všechny tyto hodnoty jsou transcendentní, ale nenesou inherentně fyzikální škálu — jsou to čísla, ne GeV.
  3. Multi-family komplex sken (multi-family-komplex-sken.md) ukázal, že 14/15 testovaných rodin ℂ-posloupností na PSL(2,ℤ) objektech nedává krok α = 0.3136 potřebný pro lepton tower (0, 9, 26).

Spinor argument pozorovatel-je-spinor.md přitom tlačí na double cover: elektron (pozorovatel) je spin-1/2, tj. transformuje se pod SU(2), ne pod SO(3). Pokud PSL(2,ℤ) reprezentuje „orbifold pohled z venku", pak spinorový pohled potřebuje zdvihnout na dvojité krytí — a to je přesně Mp(2,ℤ).

II. Mp(2,ℤ) v KRT kontextu

II.1 Definice metaplektické grupy

Mp(2,ℝ) je jednoznačně definovaná dvojkrytní grupa SL(2,ℝ): existuje přesná posloupnost

$$1 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathrm{Mp}(2,\mathbb{R}) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \to 1,$$

kde netriviální centrum {±1} generuje metaplektický kokyklus. Konkrétně: elementy Mp(2,ℝ) jsou dvojice (γ, ε(γ,τ)) s γ ∈ SL(2,ℝ) a ε² = cτ + d (volba odmocniny). Mp(2,ℤ) je celočíselná forma této grupy.

Klíčová vlastnost. Mp(2,ℤ) má reprezentace s půlčíselnou vahou k ∈ ½ℤ (Shimura 1973). Transformační pravidlo modulární formy f váhy 1/2:

$$f!\left(\frac{a\tau + b}{c\tau + d}\right) = \varepsilon(\gamma,\tau),\sqrt{c\tau+d}\cdot f(\tau), \qquad \gamma = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in \Gamma_0(4).$$

Prefaktor ε zajišťuje, že √(cτ+d) je jednoznačně definováno — na úrovni PSL(2,ℤ) by vznikla znaménková nejednoznačnost.

II.2 Přirozenost pro KRT

Mp(2,ℤ) zachovává A1 + A2:

  • A1 (τ ∈ ℍ²): field-space horní poloroviny se nemění; akce Mp(2,ℤ) na ℍ² se redukuje na akci SL(2,ℤ) (kokyklus je fázový, ne geometrický).
  • A2 (foton = eliptická křivka): eliptická křivka E_τ je definována na SL(2,ℤ) orbitě; Mp(2,ℤ) přidává spinorovou strukturu na E_τ (volba odmocniny holomorfního diferenciálu dz), což koreluje se pozorovatel-je-spinor.md: stavy jsou sekce line-bundle L^(1/2), ne jen L.

Interpretace. Přechod PSL(2,ℤ) → Mp(2,ℤ) je přesně algebraický korelát fyzikálního přechodu SO(3) → SU(2). PSL(2,ℤ) popisuje orbifold zvenku; Mp(2,ℤ) popisuje tentýž orbifold pohledem spinoru uvnitř.

Tato dualita je přímým rozšířením spinor-pozorovatele (π/2 objektivně vs π/4 prožitě): PSL rozlišuje modulární formy sudých vah (objektivní svět), Mp rozlišuje navíc liché poloviny (prožitý svět).

II.3 Weil reprezentace

Weil 1964 konstruuje kanonickou unitární reprezentaci Mp(2,ℝ) na L²(ℝ) (či obecněji na L²(V) pro symplektický vektorový prostor V). Klíčová vlastnost: Weilova reprezentace vypadává z kvantování — je to unitární implementace klasických symplektických transformací na Hilbertově prostoru.

Pro KRT (P3 = QM limit, qm-limit-p3.md) je toto zásadní: τ-geometrie + Weilova rep Mp(2,ℤ) = přirozený kandidát pro diskrétní verzi Heisenbergovy algebry na field-space. Spinor-pozorovatel je přesně element Weilovy rep.

Toto je strukturální pozorování, ne derivace fyzikálních konstant.

III. Kandidátní objekty nesoucí absolutní škálu

III.1 Theta funkce

Jacobiho theta funkce θ_3(0,τ) = Σ_{n∈ℤ} q^(n²/2) s q = e^(iπτ) je fundamentální Mp(2,ℤ) forma váhy 1/2. V CM bodech:

| τ | |θ_3(τ)| | |θ_2(τ)| | |θ_4(τ)| | |---|---|---|---| | i | 1.08643 | 0.91358 | 0.91358 | | 2i | 1.00373 | — | — | | i/2 | 1.41950 | — | — | | ρ | 1.00867 | — | — | | i√2 | 1.02352 | — | — |

Chowla–Selberg identita: θ_3(i) = π^(1/4)/Γ(3/4) (exaktně). Tj. CM hodnota je transcendentní kombinace π a Γ-funkce — strukturně to je „absolutní", ale numericky O(1), ne O(10⁻²²).

Kandidát: $m/M_\text{Pl} = |\theta_3(\tau_*)|^N$ pro vhodné τ_* a N. Selhává: |θ_3| ∈ [1, 1.4] v CM bodech, log |θ_3| ∈ [0, 0.35], takže pro log₁₀(m_e/M_Pl) ≈ −22.4 potřeba N > 60, žádné přirozené volby.

III.2 Eta funkce a její mocniny

|η(i)| = Γ(1/4)/(2π^(3/4)) ≈ 0.76822542 (exaktně). Asymptotika |η(iy)| ~ exp(−πy/12) pro y → ∞ znamená, že škála přichází z imaginární části τ.

Testováno (viz §V numerika):

  • |η(i)|^N = m_e/M_Pl dává N ≈ 195 (nestrukturní)
  • |η(i)|^(24·N) = diskriminantní rodina: N = 8 dává 1.03·10⁻²² (řád sedí, faktor ~25 mimo 4.19·10⁻²³)
  • |η(i·y)| pro y ∈ {1, 2, 3, 4} dává lineárně klesající ln|η| s krokem ≈ −π/12 ≈ −0.262; neodpovídá pozorovaným lept. poměrům (viz harmonicka-rotace-alfa-n.md)

Pozorování. Faktor (2π)¹² v Δ(τ) = (2π)¹² η(τ)²⁴ je první známka dimenzionality uvnitř modulárního aparátu: Δ je forma váhy 12, a Ramanujanův prefaktor (2π)¹² přidává explicitní π-škálu. To samotné je strukturně silné, ale nevede na numerický hit.

III.3 CM body a Gaussovy sumy

Metaplektická Gaussova suma $G(m,N) = \sum_{n \bmod N} e^{2\pi i m n^2/N}$ se objevuje v transformačních zákonech Mp(2,ℤ). Pro prvočísla p ≡ 1 (mod 4), |G(1,p)| = √p — tj. Gaussovy sumy nesou kvadratické iracionalit. V kvadratických imaginárních polích K = ℚ(√−D) dávají Chowla–Selberg formule vyjadřující η(τ_D) přes Γ-funkce diskriminantu D.

Teoreticky: m_e/M_Pl = C · Π_p Γ(r_p) pro vhodná racionální r_p? Není vidět přirozená cesta k ~10⁻²².

IV. Strukturální hodnocení

IV.1 Co Mp(2,ℤ) přidává nad PSL(2,ℤ)

Vlastnost PSL(2,ℤ) Mp(2,ℤ)
Váhy forem sudé 2k libovolné k ∈ ½ℤ
Spinor-kompatibilita ne ano
Theta funkce jako gen. objekty ne ano (váha 1/2)
Weil reprezentace ne ano (kvantování)
Γ(1/4) v CM hodnotách ne (jen přes η²⁴) ano (přes η i θ)
Absolutní škála v q-rozvoji ne strukturálně ano, numericky otevřeno

IV.2 Proč to je správný směr (i bez číselného fitu)

Tři nezávislé tlaky na Mp(2,ℤ):

  1. Spinor-pozorovatel. Elektron je spin-1/2 ⇒ pole na field-space musí být v reprezentaci dvojitého krytí.
  2. QM limit (P3). Weilova rep je diskrétní implementace Heisenbergu; P3 v KRT je nutně Mp-kompatibilní.
  3. Trojrotační reformulace selhala (trojrotacni-reformulace.md): kvazi-hit na (1+i)/2 vyžadoval operátor rot90@i = √S ∈ Mp(2,ℤ) \ PSL(2,ℤ). Tj. numerika sama si říká o Mp.

IV.3 Proč numerický fit v tomto timeboxu nevyšel

Čtyři důvody:

  1. Dynamický rozsah CM hodnot je malý. |η|, |θ| na CM bodech leží v úzkém intervalu (0.3, 1.5). Pro ~10⁻²² potřebujeme buď velké exponenty (N ~ 100+), nebo velké τ₂ (exponenciální suppression), ani jedno nevypadá strukturně.
  2. Chybí kanonický Mp(2,ℤ) analog Δ. Pro PSL máme Δ = η²⁴ váhy 12. Pro Mp by kanonickým objektem byla forma váhy 1/2 (θ_3) nebo váhy 13/2 (θ·Δ^{1/2}), ale KRT-specifický výběr zatím není.
  3. Chybí identifikace „CM bodu elektronu". Hypotéza (c) — m_e přes θ(τ_*) pro konkrétní CM τ_* — vyžaduje fyzikální argument pro τ_*. Přirozený kandidát i (maximální Stab) nebo ρ (hexagonální) nedávají přímo 10⁻²².
  4. Mezi Planck a elektronem mohou být další škály. Standardní model má ~16 řádů mezi m_e a M_Pl; možná je potřeba víceúrovňová konstrukce (RG kaskáda × metaplektické reziduum), ne single-shot formule.

V. Numerika (mpmath, dps=50)

Exaktní identity (ověřeno):

$$\theta_3(i) = \frac{\pi^{1/4}}{\Gamma(3/4)} = 1.08643,48112\ldots$$

$$|\eta(i)| = \frac{\Gamma(1/4)}{2\pi^{3/4}} = 0.76822,54223\ldots$$

$$|\eta(i)|^{24} = |\Delta(i)|/(2\pi)^{12} = 1.78537\ldots\times 10^{-3}$$

CM body na imaginární ose:

| y | |η(iy)| | ln|η(iy)| | |---|---|---| | 1/4 | 0.70184 | −0.35405 | | 1/3 | 0.78971 | −0.23609 | | 1/2 | 0.83776 | −0.17703 | | 1 | 0.76823 | −0.26367 | | 2 | 0.59238 | −0.52360 | | 3 | 0.45594 | −0.78540 | | 4 | 0.35092 | −1.04720 | | 5 | 0.27009 | −1.30900 |

Asymptotika ln|η(iy)| ≈ −πy/12 potvrzena (lineární fit, slope −0.2618 = −π/12).

Cílové škály:

$$\frac{m_e}{M_\text{Pl,full}} = 4.1855\times 10^{-23},\qquad \log_{10} = -22.378$$

$$\frac{m_e}{M_\text{Pl,reduced}} = 2.0983\times 10^{-22},\qquad \log_{10} = -21.678$$

Nejbližší „strukturní" hit:

$$|\eta(i)|^{24\cdot 8} = 1.032\times 10^{-22},\qquad \log_{10} = -21.986$$

Faktor ~25 mimo Planck_full, faktor ~2 mimo Planck_reduced. Číslo 192 = 24·8 není bezprostředně spojené s KRT invarianty (α = 2/3, N_e = 60, M0); pozorování spíše naznačuje, že některé kombinace fundamentálních Mp objektů řád trefí, ale přesný fit vyžaduje explicitní fyzikální motivaci exponentu.

Python script použitý pro výpočty je uložen v korpusu (viz 00-calculations.md nebo inline v §V výše).

VI. Hypotézy k doplnění

H1 — „foton na τ=i, elektron na τ=iy_e"

Pokud foton (A2) sedí na τ=i (maximální symetrie, Stab=ℤ/2) a elektron na τ=iy_e pro y_e velké, pak m_γ/m_e ~ exp(π(y_e−1)/12). Pro m_e/m_γ nekonečno (foton bezhmotný) jde y_e → ∞, což strukturálně vybírá cuspu — ne elektron. Nekonsistentní s intuicí A2.

H2 — Weil rep dává poměry, Γ(1/4) dává absolut

Weil rep Mp(2,ℤ) působí unitárně ⇒ nemění absolutní normy. Tj. ratios lept. hmot mohou být v Weil rep, ale absolutní škála musí přijít jinudy — kandidát Γ(1/4)/π^(3/4) z Chowla–Selberg, ale tato hodnota je O(1), ne 10⁻²².

H3 — Absolutní škála z η-faktoru na cuspu pod spinor-half

Pokud spinor-pozorovatel „vidí" e^{−πy/24} místo e^{−πy/12} (half-weight), pak pro y_e = 183 (místo 195) dostaneme m_e/M_Pl_red. Stále ~200, ne O(1). Bez natural fyzikálního důvodu pro y_e.

H4 — Vícenásobná škála: η^(1/2) × Hecke × RG

Nejslibnější směr, neprozkoumáno v tomto timeboxu: m_e = M_Pl · |η(i)|^a · |Hecke eigenform Γ₀(11)|^b · exp(−c) kde (a,b,c) vypadají z KRT struktury. Vyžaduje plný Shimura–Eichler kalkulus přes Mp(2,ℤ) + Hecke podgrupy.

VII. Co by stačilo pro promoci 🟡 → 🟢

  1. Identifikovat konkrétní Mp(2,ℤ) formu F vahy w a její CM hodnotu τ_* z KRT struktury (ne volnou volbou).
  2. Odvodit exponent N z KRT invariantů (α=2/3, N_e=60, pletence B₃, atd.).
  3. Numerický hit |F(τ_*)|^N = m_e/M_Pl s chybou < 1% bez overfitting (tj. s minimálně dvěma nezávislými nalezenými čísly).

Alternativně: dokázat, že v Mp(2,ℤ) existuje jednoznačná forma reprezentující „hmotnostní škálu pozorovatele" jako topologická/kohomologická invariant (analogicky α = 2/3 pro inflaci).

VII.bis Update 2026-04-20 noc — nový konkrétní kandidát

Po session tří paralelních agentů (Hecke, Shimura, strukturní exponent) se H4 zúžila na konkrétní formuli:

$$m_e ;=; \sqrt 2 \cdot M_{\text{Pl,red}} \cdot (i^i)^{32} \cdot [1 + \varepsilon]$$

s chybou ε ≈ 0.31 % ≈ O(α_em/π). Exponent N=32 = 2·(2+3) z P5 elliptic orders + Mp/SL double cover; prefaktor √2 z spinor half-angle sec(π/4) / Mp kokyklus.

Kaskáda přes Koide Q=2/3 (🟢 paper) s PDG m_μ dá m_τ = 1776.48 MeV vs PDG 1776.86 (0.02 %).

Viz p12b-sqrt2-ii-32.md pro full treatment + syntézu s agent findings (3-leptonový integer tower (159, 142, 133) z agent 1 je ekvivalentní formulace téže cusp exponenciály).

VIII. Závěr

🟡 Strukturální kandidát, bez číselného fitu.

  • Mp(2,ℤ) je přirozené rozšíření PSL(2,ℤ) vynucené spinor-pozorovatelem a QM limitem.
  • Strukturálně umožňuje absolutní škálu (half-weight formy, Γ(1/4) v CM bodech, Weil rep).
  • Numerický fit selhal v nejjednodušších variantách: nejbližší hit |η(i)|^192 = 1.03·10⁻²² je řádově správně ale faktor ~25 mimo m_e/M_Pl, bez strukturní motivace exponentu 192.
  • Otevřený směr: Hecke eigenformy úrovně N≥4 na Mp(2,ℤ), Rankin–Selberg L-hodnoty v CM bodech, Shimura lift mezi váhami 1/2 a celočíselnou.

Kandidát zapsán jako P12 v 00-status.md.

Návaznost

Reference

  • Weil, A. (1964). Sur certains groupes d'opérateurs unitaires. Acta Math. 111, 143–211.
  • Shimura, G. (1973). On modular forms of half integral weight. Ann. Math. 97, 440–481.
  • Skoruppa, N.-P., Zagier, D. (1988). Jacobi forms and a certain space of modular forms. Invent. Math. 94, 113–146.
  • Chowla, S., Selberg, A. (1967). On Epstein's zeta-function. J. Reine Angew. Math. 227, 86–110.
  • Bruinier, J. H., Funke, J. (2004). On two geometric theta lifts. Duke Math. J. 125, 45–90.
← všechny poznámky