P13 — Ikosaedrální stopa faktoru 4: 4 = stopa[3D→2D projekce](A₅)
Kandidátní stopa 🟡. P13 faktor 4 jako topologická stopa C₃-orbit na vrcholech ikosaedru. Klíčový důsledek (pokud projde): P13 a Theorem 4 (Nₑ=60) jsou jedna stopa ve dvou projekcích téhož prostoru A₅. Paper-level výsledek, promoce obou na 🟢 současně.
I. Formalizace stopy
$$\boxed{; 4 ;=; \mathrm{stopa}3\mathrm{D}\to 2\mathrm{D}\ \text{projekce} ;=; \frac{|V(\mathrm{Icos})|}{|\mathrm{Stab}(\rho)|} ;=; \frac{12}{3} ;}$$
- prostor: A₅ ≅ Rot(Icos) ≅ PSL(2,5) (Klein 1884); šestimístný Klein-Galoisův izomorfismus konzumovaný v Theorem 4
- operace: projekce 3D → 2D podél zvolené 3-osy ikosaedru. C₃ = Stab(ρ) (Theorem 1) působí volně na 12 vrcholů: 3-osy procházejí středy protilehlých stěn, ne vrcholy; C₃ ∩ Stab(v) = C₃ ∩ C₅ = {e}
- výsledek: 12 vrcholů se rozpadá do 4 C₃-orbit, každá tvoří rovnostranný trojúhelník kolmý k 3-ose (Coxeter 1973 §3.7)
- 4 = orbit count projekce V(Icos) / C₃
I.1 Proč ne alternativy
Prozkoumáno a vyloučeno (s důvody):
| Kandidát | Hodnota | Proč ne |
|---|---|---|
| V−E+F | 12−30+20 = 2 | Nedává 4; Euler char je globální topologická, ne projekční |
| 20 / 5 | stěny / C₅ | Dává 4 nahodile; C₅-orbity na F(Icos) jsou 4, ale postrádá přirozenou 3D→2D projekci |
| |Conj(A₅)| | 5 | Nedává 4 |
| |Irrep(A₅)| | 5 | Nedává 4 |
| 30 / (2·3) | hrany / (C₂×C₃) | Dává 5, ne 4 |
| χ_orb(S²/A₅)·|A₅| | (1/15)·60 = 4 | Dává 4 správně ale přes orbifold GB, ne přes přímou projekci; komplementární čtení, ne alternativa |
Minimální volba: orbit-count C₃ na V(Icos).
II. Holografické snížení
Stopa vynucuje 3D → 2D redukci: 3-osa pozorovatele odstraňuje jednu imaginární osu (tu, podél níž se pozoruje), zbývají 2 tangenciální osy na 2-plochu horizontu.
V KRT jazyce: Re-pohyb pozorovatele (P14 §IV: γ⁰ generator Re-translace) se ztotožňuje s volbou 3-osy ikosaedru v ℍ ↔ 2I ⊂ SU(2) vnoření. Pak:
- původní 3D: všech 12 vrcholů visí ve 3-prostoru
- po projekci: 4 × 3-orbitové trojúhelníky (C₃-orbity) v 2-rovině horizontu
- každý trojúhelník reprezentuje jednu Planck-cell 2-plochy; každý vrchol je jedno spinorové Z/2
Faktor 4 v S = A/(4ℓ_P²) je počet C₃-orbit per Planck-cell: 4 orbits per cell = 4 bits per area quantum.
III. Řetězení s Theorem 4
Theorem 4 (🟡) má čtyři nezávislé formulace Nₑ = 60 přes Klein-Galoisův most k A₅:
| Cesta | Formulace |
|---|---|
| (a) | 60 = [PSL(2,ℤ) : Γ(5)] |
| (b) | 60 = |Coxeter (2,3,5) max sférický| |
| (c) | 60 = |π₁(Poincaré homologická sféra S³/A₅)| |
| (d) | 60 = 6 × 10 hexagonální kaskáda reheatingu |
P13 stopa je pátá formulace téže stopy:
$$\mathrm{stopa}3\mathrm{D}\to 2\mathrm{D}\ \text{projekce} = 4$$
jako komplementární projekce na totéž A₅. Theorem 4 čte A₅ "podélně" (1D kaskáda: 60 kroků); P13 čte A₅ "příčně" (3D→2D redukce: 12/3 = 4 orbits).
Paper-level důsledek. Pokud mezery G1–G3 projdou, P13 a Theorem 4 nejsou dvě otevřené otázky — jsou jedna stopa ve dvou projekcích. Uzavření kterékoliv cesty Theorem 4 (nejbližší: M1_dyn Morse analýza X̄(1) z posledního commitu 0cc28ff) automaticky uzavírá P13 přes Klein-Galoisův izomorfismus a obráceně.
IV. Mosty na ostatní 🟢 výsledky
- Theorem 3 (🟢, S³ = unit ℍ): Poincaré homologická sféra S³/A₅ je kvocient unit kvaternionů přes binární ikosaedr 2I; most A₅ ↔ 2I ⊂ SU(2) dostupný
- P12a (🟢, Mp(2,ℤ) ≡ ℍ-refinement): most Mp(2,ℤ) ↔ 2I přes spin rep 2I ⊂ SU(2) (Klein 1884 §II.6); potenciální alternativní čtení 24/6 = 4 přes binární ikosaedr
- P14 (🟢 core, Cl(1,3)): volba 3-osy ikosaedru ≡ volba Re-osy pozorovatele; Cl(1,3) spinor pattern ≡ 4-orbit struktura
- Attribution P9 (🟢, síly ↔ B₃): A₅ ≅ PSL(2,5) je natural reduction PSL(2,ℤ) modulo 5; síly a jejich topologie projektivní na mod-5 úrovni
V. Mezery (Pravidlo 7)
- G1 — Funktor fázová buňka ↔ A₅-orbita. Kategorický: Heisenbergovy (x,p)-buňky s Liouvillovou mírou ↔ A₅-akce na diskrétních množinách. Kandidát: přes P14 Cl(1,3) spinory s Heegner-typ diskretizací.
- G2 — Formální most Mp(2,ℤ) ↔ 2I. Skládání Weil rep (Folland 1989) + spin rep 2I (Klein 1884). Matematika dostupná, explicitní kompozice nenapsána.
- G3 — Identifikace Re-osa ≡ zvolená 3-osa. Přes ℍ ↔ 2I ⊂ SU(2) vnoření. Konzistentní, formálně nezapsané.
- G4 — Invariance volby 3-osy. Vyřešeno: 10 3-os v Rot(Icos), všechny konjugované v A₅, orbit count je invariant.
- G5 — Alternativa χ_orb(S²/A₅)·|A₅| = 4. Konzistentní, méně minimální (orbifold GB místo přímé projekce); komplementární čtení.
VI. Falsifikace
Cesta selže, pokud:
- G1 nemá přirozený funktor (A₅-orbity nejsou Heisenbergovy cells v žádném kanonickém smyslu)
- G2 dává jiný index než 24/6 = 4 (např. 2I má struktura obstrukci bránící faktoru 4)
- KRT-predikovaný korekční člen k Bekensteinovu faktoru mimo standard není prokazatelný
VII. Shrnutí
4 = stopa3D→2D projekce = |V(Icos)| / |Stab(ρ)| = 12/3.
Ikosaedrální stopa je jedna ze tří paralelních kandidátních cest k uzavření P13 (viz také p13-iterated-cover-stopa.md, p13-h-ortogonalni-stopa.md). Její silná stránka: ekvivalence s Theorem 4 přes Klein-Galois. Její slabá stránka: tři mezery G1–G3 v řetězení s Heisenbergovou fyzikou. Pokud projde, paper-level promoce obou problémů současně.