P13 — Iterated cover stopa faktoru 4: 4 = |Z(Mp(2,ℤ))|

Kandidátní stopa 🟡. P13 faktor 4 jako řád středu metaplektické grupy Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4 = ⟨S²⟩. Klíčový důsledek (pokud projde): faktor 4 je stopa P12a double cover — tatáž struktura, která dává Dirac z Schrödingera, dává Bekenstein z Heisenberg × volume. Holografický princip není postulát, je stopa ℍ-refinement ℂ-pozorovatele.

I. Formalizace stopy

$$\boxed{; 4 ;=; \mathrm{stopa}\text{iterated double cover} \twoheadrightarrow \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \twoheadrightarrow \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})) ;=; |Z(\mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}))| ;}$$

I.1 Kernel Mp → PSL: Z/4, ne V₄

Mp(2,ℤ) je non-trivial central extension SL(2,ℤ) přes Weil cocyclus:

$$1 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \to 1$$

Složením s SL(2,ℤ) → PSL(2,ℤ) (kernel {±I}):

$$1 \to K \to \mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) \to 1$$

Kernel K má řád 4. Struktura K je Z/4, ne Z/2 × Z/2. Důvod: Mp(2,ℤ) lze generovat S, T s S² = Z (centrální prvek), Z² = lift −I, Z⁴ = 1. Tedy Z(Mp(2,ℤ)) = ⟨Z⟩ ≅ ℤ/4 cyklické.

Explicitně ve Weil representaci na L²(ℝ): S je Fourierova transformace, S² = Fourier² = parita operator P (f(x) ↦ f(−x)), S⁴ = id. Řád S je 4, ne 2.

I.2 Důsledek pro stopu

4 = |Z(Mp(2,ℤ))| = |ker(Mp → PSL)|.

To je čistší formulace než „iterated cover" (která by sugerovala Z/2 × Z/2 = V₄). Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4 je jeden cyklický faktor, ne součin dvou. Obě komponenty Z/2 × Z/2 jsou twistované Weil cocyclem do jediného cyklu řádu 4.

II. Vazba na Bekenstein

II.1 Weil rep na L²(ℝ) a fázový prostor

Weilova representace Mp(2,ℝ) na L²(ℝ) (Weil 1964, Folland 1989) má klíčovou vlastnost: komutuje s Heisenbergovou grupou H = ℝ³ (x, p, phase). Stone–von Neumann teorém říká, že každá unitární irreducible representace H s centrálním charakterem e^(iℏ·) je unikátní až na izomorfismus; Mp(2,ℝ) působí intertwiningem mezi tím jednoznačným modelem a jeho obrazy.

Klíčová vazba: Plancherel míra na L²(ℝ) je dq; Fourier dualita dá dp. Plocha (x,p)-fázového prostoru na Heisenbergův bit je ℏ·(normalizační faktor).

II.2 Faktor 4 jako počet centrálních eigenspaců

Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4 působí na Weil rep nontrivially. Každá irreducible Weil komponenta má centrální character — jeden ze čtyř: ±1, ±i (čtyři čtvrté odmocniny z 1). Každý charakter vymezuje jeden polarizační sektor Heisenbergovy rep:

4 = 4 sektory = 4 polarizační stupně volnosti per Planck-cell na horizontu.

II.3 Proč právě 4 v Bekensteinu

Bekensteinův bound S ≤ A/(4ℓ_P²) je plocha v Planck-unit bitech. Každá Planck-cell nese počet nezávislých stupňů volnosti rovný počtu Z(Mp)-sektorů = 4. Alternativně: ΔxΔp ≥ ℏ/2 má faktor ½ z Mp(2,ℤ) double cover (spin-½ ≡ Z/2 central element v Mp), nezávisle platí parity Z/2. Součin 2 × 2 = 4 sektorů ≡ |Z/4|.

Obě formulace jsou identické (Z/4 ≅ Z/2 × Z/2 jako množina, ne jako grupa; counting 4 je invariant).

III. Most na P12a a P14

III.1 P12a (🟢 UZAVŘENO 2026-04-19)

P12a dokumentuje, že Mp(2,ℤ) ≡ ℍ-refinement PSL(2,ℤ) přes Weilovu representaci (Weil 1964, Folland 1989) a přes spinor-pozorovatele jako element Weil rep (Shimura 1973). Klíčová věta P12a: P14 Dirac je ℍ-refinement P3 Schrödingera, strukturně přes Mp.

P13 iterated cover stopa je důsledek P12a. Stejná double-cover struktura, která zdvíhá ℂ-Schrödingera do ℍ-Diraca, vynucuje faktor 4 v entropii. Kdyby cover byl trivial (Mp = SL), Bekensteinovo S by bylo A/(1·ℓ_P²) a entropie by byla čtyřikrát větší — což by pozorovatelně rozporovalo Hawkingovu derivaci. Double cover je proto fyzikálně povinný, ne ornamentální.

III.2 P14 (🟢 core 2026-04-20)

P14 (dirac-jako-h-schrodinger.md) dává Cl(1,3) signaturu z asymetrie ℍ-2/ℍ-3. Cl(1,3) ≅ ℍ(2) (2×2 matice nad ℍ). Mp(2,ℝ) centrální rozšíření má sloučený střed ℤ/4 působící na Cl(1,3) spinorech.

Konkrétně: v Diracově rovnici (iγ^μ∂_μ − m)ψ = 0 je ψ ∈ ℂ⁴ = ℍ² (po Weil redukci). Z(Mp) = ⟨exp(iπ/2·I)⟩ působí jako násobení i-fází; 4 cyklické stupně jsou 4 Dirac spinorové komponenty (ψ_L, ψ_R) × (up, down).

III.3 Heisenbergova grupa H(ℝ²) ↠ Mp

Klasická posloupnost:

• Heisenberg grupa H = {(x, p, phase)} na ℝ²
• Symplektická grupa Sp(2,ℝ) = SL(2,ℝ) působí na (x,p) zachovávajíc dx ∧ dp
• Mp(2,ℝ) ↠ Sp(2,ℝ) double cover; Mp působí na L²(ℝ) přes Weil rep, komutuje s H

Faktor 4 je stopa této věže: Z/2 (cover Mp→Sp) × Z/2 (Heisenbergův center action) = 4.

Reference: Shale 1962; Weil 1964; Folland 1989 §1.3; Lion–Vergne 1980.

IV. Mosty na ostatní 🟢

• P3 (🟢, QM z τ-geom): ΔxΔp ≥ ℏ/2 je strukturálně faktor ½ z Mp center
• Theorem 3 (🟢, S³): počet 4 spinorových modů × plocha S³ = Bekensteinova informační kapacita
• Attribution P9 (🟢, B₃): B₃ = SL(2,ℤ)-related, jeho univerzální cover obsahuje Mp jako podgrupu
• Corollary T2.1 (🟢, π = stopaorbifold GB): π je stopa na PSL(2,ℤ) ne Mp; faktor 4 je „oprava" při přechodu PSL → Mp

V. Mezery (Pravidlo 7)

• (a) Přesný kernel Mp(2,ℤ) → PSL(2,ℤ). Strukturní formulace v literatuře (Weil, Folland) potvrzuje Z(Mp) ≅ ℤ/4, ale explicitní cyklická generátor v obrazu I.2 potřebuje zápis.
• (b) Proč v S, ne jinde? Faktor 4 se mohl objevit v ℏ ln 2 (Boltzmannův přepočet), v 2π (normalizace), nebo v A. Proč přesně v denominátoru A/(4ℓ_P²)?
• (c) Kalibraci s Hawkingovou derivací. Hawking 1975 dostal 4 z β_H = 2πR_Schw/c a entropické integrace. KRT derivace musí reprodukovat přesný koeficient, ne jen řád 4.
• (d) Vztah k P20 Γ_max. Pokud Γ_max ≤ 2πRE/(ℏ ln 2), pak faktor 4 v S vychází z 2π × (2/ln 2) × redukce. Metaplektická cesta musí být konzistentní s Γ-derivací.

VI. Falsifikace

Cesta selže, pokud:

• Z(Mp(2,ℤ)) je V₄ = Z/2×Z/2, ne Z/4 (potvrzení nebo vyvrácení: explicitní výpočet S² v konkrétním modelu Mp(2,ℤ))
• Weil rep Plancherel míra nedává faktor 4 v Heisenbergově bitovém counting
• Hawkingův faktor ¼ není reprodukovatelný z Mp cover bez ad-hoc volby

VII. Shrnutí

4 = stopaiterated double cover = |Z(Mp(2,ℤ))| ≅ ℤ/4.

Iterated cover stopa je algebraicky nejpřesnější ze tří kandidátů (řád cyklické grupy je jednoznačný), ale vyžaduje explicitní identifikaci 4 Weil-sektorů s 4 bity Planck-cell (mezera b). Most na P12a (🟢) je přímý: stejný Mp, který dává P14 Dirac, dává P13 faktor. Pokud projde, holografie je stopa P12a. Viz také paralelní kandidáty p13-ikosaedralni-stopa.md a p13-h-ortogonalni-stopa.md.