2026-04-19 16:14 formální A3slow-rollnumerikaT-modelverifikace

A3 — Slow-roll parametry numericky potvrzené pro T-model

Formální esej. Numerické potvrzení, že α = 2/3 T-model V = Λ⁴tanh²(φ/2) reprodukuje paperovou predikci r ≈ 0.0025 pro N = 57. Doplňuje problem-potencial.md.

I. Výpočet

Pro V(φ) = Λ⁴ tanh²(φ/2) (Kallosh-Linde 2013, α-attractor T-model s α = 2/3):

  • V_φ = (1/2) · 2tanh(φ/2)·sech²(φ/2)·(1/2) = tanh(φ/2)·sech²(φ/2)/2... počkat

Derivace: $$V = \tanh^2(\varphi/2), \quad V_\varphi = 2\tanh(\varphi/2)\cdot\mathrm{sech}^2(\varphi/2)\cdot(1/2) = \tanh(\varphi/2),\mathrm{sech}^2(\varphi/2)$$

Slow-roll: $$\epsilon_V = \frac{1}{2}\left(\frac{V_\varphi}{V}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{sech}^2(\varphi/2)}{\tanh(\varphi/2)}\right)^2 = \frac{1}{2\sinh^2(\varphi/2)\cosh^2(\varphi/2)} = \frac{2}{\sinh^2(\varphi)}$$

Pro φ_end s ε = 1: $$\sinh^2(\varphi_{\text{end}}) = 2 \Rightarrow \varphi_{\text{end}} = \ln(1 + \sqrt{2}) + \ln(\sqrt{2}) \approx 1.146$$

II. Výsledky pro různé Nₑ

Numerickou integrací: $$N_e(\varphi_*) = \int_{\varphi_{\text{end}}}^{\varphi_*} \frac{V}{V_\varphi} d\varphi$$

Nₑ φ* ε_V η_V nₛ r 2(1−nₛ)²
40 5.10 3.0×10⁻⁴ −0.024 0.9505 0.0048 0.0049
50 5.32 1.9×10⁻⁴ −0.019 0.9603 0.0031 0.0032
55 5.41 1.6×10⁻⁴ −0.018 0.9639 0.0026 0.0026
57 5.44 1.5×10⁻⁴ −0.017 0.9651 0.00239 0.00243
60 5.50 1.3×10⁻⁴ −0.016 0.9669 0.00216 0.00220
65 5.57 1.2×10⁻⁴ −0.015 0.9694 0.00184 0.00187
70 5.65 1.0×10⁻⁴ −0.014 0.9716 0.00159 0.00162

III. Potvrzení paperu

Pro Nₑ = 57 (paperova hodnota):

  • nₛ = 0.9651 — odpovídá Planck 2018 (nₛ = 0.9649 ± 0.0042) ✓
  • r = 0.00239 — odpovídá paperové predikci r ≈ 0.0025 ✓ (rozdíl < 5% je v rámci slow-roll korekcí)

Relace r = 2(1−nₛ)² platí s přesností ~2% pro Nₑ ≥ 40.

IV. Stabilita vůči variacím Nₑ

Pozorovatelný interval Nₑ ∈ [50, 65] dává:

  • nₛ ∈ [0.960, 0.969] — konzistentní s Planck 2018 v celém intervalu
  • r ∈ [0.0018, 0.0031] — okolo 0.0025

LiteBIRD detekovatelnost σ(r) ~ 0.001 znamená, že KRT rozliší od alternativ:

  • KRT (α = 2/3): r ≈ 0.0019–0.0031
  • Starobinsky (α = 1): r ≈ 0.003–0.005
  • Δr ≈ 0.001–0.002 — na hranici LiteBIRD citlivosti, ale odlišitelné s CMB-S4

V. Implementace výpočtu

Použitý kód (Python + scipy):

from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import brentq
import math

def V(phi):
    return math.tanh(phi/2)**2

def Vp(phi):
    return math.tanh(phi/2) / math.cosh(phi/2)**2

def eps(phi):
    return 0.5 * (Vp(phi)/V(phi))**2

# End of inflation
phi_end = brentq(lambda p: eps(p) - 1, 0.01, 5)
# ≈ 1.146

# e-folds
def N(phi_star):
    return quad(lambda p: V(p)/Vp(p), phi_end, phi_star)[0]

# Predictions for N=57
phi_57 = brentq(lambda p: N(p) - 57, phi_end + 0.01, 30)
# ≈ 5.44
# eps ≈ 1.49e-4, r ≈ 0.00239

VI. Závěr A3

  • T-model V = Λ⁴tanh²(φ/2) dává r = 0.0024 pro Nₑ = 57 ✓
  • Relace r = 2(1−nₛ)² platí numericky s ~2 % přesností
  • Paperova predikce r ≈ 0.0025 je konzistentní s tímto potenciálem

T-model je správný efektivní potenciál pro paperovou predikci. Problém v problem-potencial.md ukazuje, že plně PSL(2,ℤ)-invariantní potenciál s η funkcí tuto predikci nedává — paper by měl specifikovat T-model jako efektivní, nebo vyřešit reconciling.

Návaznost

← všechny poznámky