2026-04-20 06:43 kandidát P1B1FRWw-zDESIkandidátnumerika

B1 — Post-inflační τ-evoluce a extrakce w(z); srovnání s DESI DR1/DR2

Kandidátní esej (🟡). Uzavření mapy Θ → a(z) → H(z) → w(z) z roadmap B1. Fáze 1 (slow-roll + první oscilace inflatonu) integrována numericky, fáze 2 (late-time FRW s Λ_eff z Theorem 3) sestavena analyticky. Výsledek: KRT baseline predikuje v pozdní éře w_DE(z) ≡ −1 identicky, tedy stejnou DESI DR2 „phantom-crossing" tension jako ΛCDM. Kvantitativní odchylka vyžaduje P3 (reheating) nebo nové členy v efektivní akci (B4). Mezery pojmenovány explicitně podle Pravidla 7.

0. Motivace a stav úkolu

P1 (projekční řetězec Θ → a(z) → H(z) → w(z)) byl po esejích eom-odvozeni.md, slow-roll-numericky.md a ricci-theorem-3.md v stavu 🟡: slow-roll inflační segment spočítán (r = 0.00239, n_s = 0.9651), kosmologická konstanta z Theorem 3 řádově zachycena (Λ_eff/M_Pl⁴ ≈ 4·10⁻¹²²), ale chybělo explicitní spojení post-inflační a(t) → H(z) → w(z) pro srovnání s BAO/SN daty.

Tato esej dodává zbývající článek. Protože plná numerická integrace FRW systému od t_end ≈ 10⁻³⁵ s do t_0 ≈ 10¹⁷ s překlenuje ~130 e-folds s oscilacemi inflatonu na škále m_φ ≫ H pro většinu tohoto intervalu, čistá integrace v jednom kuse je numericky nezvládnutelná. Proto volíme multi-scale schéma:

Fáze 1 (t_end ... ~10/H_end): přímá numerická integrace Klein-Gordon + Friedmann. Cíl: potvrdit start oscilací a oscilační průměr ⟨w_φ⟩ ≈ 0 (inflaton dust).
Fáze 2 (reheating → dnes): efektivní FRW s komponentami (rad, matter, Λ_eff). τ-pole vstupuje jako "inflaton dust" zahrnutý do Ω_m skrze reheating mechanismus (P3).
Fáze 3 (pozorovatelný rozsah z ∈ [0, 2.33]): extrakce w(z), srovnání s DESI.

I. FRW + τ-inflaton: systém rovnic

I.1 Akce a pole

Z efektivní akce v paperu (odvozeno v eom-odvozeni.md):

$$S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[\frac{M_{\text{Pl}}^2}{2} R - \frac{1}{2}\frac{(\partial\tau_1)^2 + (\partial\tau_2)^2}{\tau_2^2} - V(\tau)\right]$$

V single-field slow-roll limitě (τ₁ = 0, kanonická proměnná φ = ln τ₂):

$$V(\varphi) = \Lambda^4 \tanh^2(\varphi/2), \quad \alpha = 2/3\ \text{(T-model, Kallosh–Linde)}$$

Normalizace Λ: COBE normalizace + r = 0.0025 fixuje H_inf ≈ 1.3·10⁻⁵ M_Pl, tedy V_inf ≈ 3H_inf² M_Pl² ≈ 5·10⁻¹⁰ M_Pl⁴. Bereme tedy Λ⁴ = 5·10⁻¹⁰ M_Pl⁴ jako pracovní hodnotu.

I.2 FRW metrika a rovnice

Standardní FRW pozadí ds² = −dt² + a(t)² δ_{ij} dx^i dx^j, homogenní pole φ(t):

$$H^2 = \frac{1}{3 M_{\text{Pl}}^2}\left[\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2 + V(\varphi) + \rho_\text{r} + \rho_\text{m} + \rho_\Lambda\right]$$

$$\dot{H} = -\frac{1}{2 M_{\text{Pl}}^2}\left[\dot{\varphi}^2 + \frac{4}{3}\rho_\text{r} + \rho_\text{m}\right]$$

$$\ddot{\varphi} + 3H\dot{\varphi} + V'(\varphi) = 0$$

$$\rho_\text{r}(a) = \rho_{\text{r},0}(a_0/a)^4, \quad \rho_\text{m}(a) = \rho_{\text{m},0}(a_0/a)^3, \quad \rho_\Lambda = \text{const}$$

Poznámka. CDM (ρ_m) a radiace (ρ_r) zde vstupují externě jako pozadí — nejsou součástí T-model lagrangiánu. Tento externí vstup je zbytková mezera P3 (reheating): v plné KRT by ρ_m a ρ_r byly produktem rozpadu τ-pole do SM stupňů volnosti, ale tento mechanismus zatím není odvozen (viz 00-roadmap.md B2). Pro post-inflační fenomenologii používáme standardní ΛCDM-like pozadí.

I.3 State parameter inflatonu

Pro τ-pole samotné:

$$\rho_\varphi = \tfrac{1}{2}\dot\varphi^2 + V(\varphi), \qquad p_\varphi = \tfrac{1}{2}\dot\varphi^2 - V(\varphi)$$

$$w_\varphi = \frac{p_\varphi}{\rho_\varphi} = \frac{\tfrac{1}{2}\dot\varphi^2 - V(\varphi)}{\tfrac{1}{2}\dot\varphi^2 + V(\varphi)}$$

Asymptotické limity:

Slow-roll (½φ̇² ≪ V): w_φ → −1 (de Sitter)
Oscilace kolem V'' > 0 minima: ⟨w_φ⟩_time = 0 pro kvadratický V (virial theorem). Pro V = Λ⁴ tanh²(φ/2) platí V ≈ (Λ⁴/4)φ² pro |φ| ≪ 1, tedy také kvadratický ⇒ ⟨w_φ⟩ = 0.
Kinetic-dominated (½φ̇² ≫ V): w_φ → +1 (stiff matter)

II. Počáteční podmínky na konci inflace

II.1 φ_end z ε_V = 1

Z slow-roll-numericky.md:

$$\varepsilon_V = \frac{2}{\sinh^2\varphi} = 1 \quad\Rightarrow\quad \sinh^2\varphi_\text{end} = 2 \quad\Rightarrow\quad \varphi_\text{end} = \sinh^{-1}\sqrt{2} \approx 1.1462$$

II.2 H_end z Friedmann

Na konci inflace platí ε_H ≡ −Ḣ/H² = 1, tedy ½φ̇² = H² M_Pl² (kinetická = potenciální energie v poměru 1:2):

$$3H_\text{end}^2 = \tfrac{1}{2}\dot\varphi_\text{end}^2 + V_\text{end} = H_\text{end}^2 + V_\text{end}$$

$$\boxed{H_\text{end}^2 = V_\text{end}/2}$$

Numericky: V_end = Λ⁴ tanh²(φ_end/2) ≈ Λ⁴ · 0.1340 = 6.70·10⁻¹¹ ⇒ H_end ≈ 8.19·10⁻⁶ M_Pl.

II.3 φ̇_end

$$\dot\varphi_\text{end} = -\sqrt{2}, H_\text{end} \approx -1.16\cdot 10^{-5}\ M_\text{Pl}^2$$

(Znaménko záporné: pole roluje dolů, od plateau k minimu.)

II.4 Hmotnost inflatonu

V blízkosti minima V(φ) ≈ (Λ⁴/4) φ², takže:

$$m_\varphi^2 = V''(0) = \Lambda^4/2 \quad\Rightarrow\quad m_\varphi = \sqrt{\Lambda^4/2} \approx 1.58\cdot 10^{-5}\ M_\text{Pl}$$

Poměr m_φ/H_end ≈ 1.93 — oscilace začnou během prvního Hubble času po konci inflace.

III. Fáze 1: numerická integrace (slow-roll → oscilace)

III.1 Kód

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

LAMBDA4 = 5.0e-10

def V(phi):   return LAMBDA4 * np.tanh(phi/2.0)**2
def Vp(phi):  return LAMBDA4 * np.tanh(phi/2.0) / np.cosh(phi/2.0)**2

phi_end = np.arcsinh(np.sqrt(2.0))   # 1.1462
H_end = np.sqrt(V(phi_end)/2.0)       # 8.19e-6 M_Pl
phidot_end = -np.sqrt(2.0) * H_end

def rhs(t, y):
    a, phi, phidot = y
    rho_phi = 0.5*phidot**2 + V(phi)
    H = np.sqrt(rho_phi/3.0)
    return [a*H, phidot, -3*H*phidot - Vp(phi)]

t_end = 20.0 / H_end
sol = solve_ivp(rhs, [0, t_end], [1.0, phi_end, phidot_end],
                method='Radau', rtol=1e-8, atol=1e-14,
                t_eval=np.linspace(0, t_end, 500),
                max_step=t_end/2000)

III.2 Výstupní tabulka (fáze 1)

Výsledek integrace do t·H_end = 20 (tj. ~9 e-folds po konci inflace):

t·H_end	N = ln(a)	φ	φ̇	w_φ	H/H_end
0.000	0.000	+1.146	−1.16e−5	−0.333	1.000
0.401	0.333	+0.643	−9.54e−6	−0.030	0.683
2.004	0.907	−0.287	+2.14e−6	−0.633	0.249
4.008	1.268	+0.099	−2.42e−6	+0.412	0.144
8.016	1.668	−0.070	−9.53e−7	−0.151	0.073
12.024	1.916	−0.050	+7.05e−7	−0.112	0.053
16.032	2.097	+0.028	+6.44e−7	+0.363	0.039
20.000	2.237	+0.037	−2.63e−7	−0.669	0.032

První průchod φ̇ = 0 (start oscilací): t·H_end ≈ 1.72, N ≈ 0.84. V té chvíli φ = −0.32 (první přelet minima), H ≈ 0.25 H_end.

III.3 Oscilační průměr w_φ

Přes oscilační část dat (od 4. průchodu nulou):

$$\langle w_\varphi\rangle_{\text{time}} = -0.018, \quad \text{median}(w_\varphi) = -0.037$$

Oba indikátory ≈ 0 v rámci diskretizačního šumu — potvrzuje, že inflaton v oscilační fázi škáluje jako matter dust (w_φ = 0), přesně jak předpovídá virial theorem pro kvadratický potenciál. (Zbytková odchylka od 0 pochází z vyšších řádů tanh² a konečnosti integračního okna.)

III.4 Škálování ρ_φ

Z tabulky: H/H_end klesá z 1.0 na 0.032 přes N = 0 → 2.24, tedy H ∝ a^(−k) s:

$$k = -\frac{d\ln H}{dN} = -\frac{\ln(0.032)}{2.24} \approx 1.53 \approx 3/2$$

Potvrzuje ρ_φ ∝ a⁻³ (matter scaling, protože H ∝ ρ^(1/2) ∝ a^(−3/2)). ✓

III.5 Závěr fáze 1

Oscilace startují přibližně 1 Hubble čas po konci inflace.
Průměrné w_φ ≈ 0 přes ≥3 oscilační cykly (matter dust).
ρ_φ klesá jako a⁻³.

Tím je fáze 1 numericky uzavřena. Přímá integrace dále (až ke konci matter éry) by vyžadovala ~60 dalších e-folds; to je výpočetně zbytečné, protože víme z fáze 1, že platí WKB/adiabatické přiblížení ρ_φ ∝ a⁻³.

IV. Fáze 2: reheating a efektivní ΛCDM pozadí

IV.1 Konceptuální bod

Po nástupu oscilací má inflaton dvě možnosti:

Zůstat izolovaný ⇒ inflaton dust dnes. Tento scénář přeplňuje Ω_m nad pozorovaný práh ~0.315 o několik dekád.
Reheat-ovat na SM pole přes coupling τ → SM. Tento mechanismus je P3 (otevřený, B2 na roadmap).

V tomto bodě roadmap KRT předpokládá scénář 2 — τ-pole po oscilacích předá energii radiaci a materialu SM, a tím se „nalije" do externích komponent ρ_r(a), ρ_m(a). Detailní mechanismus (parciální šířky, efektivní couplings, teplota reheating T_reh) není v této eseji řešen — je to B2. Pro extrakci w(z) nám stačí, že dnešní ρ_m je dominantně CDM + baryony + zbytek oscilačního φ-dust, efektivně s w_matter = 0.

IV.2 Λ_eff z Theorem 3

Z ricci-theorem-3.md: emergentní prostor je S³ s konstantní Ricciho křivostí R = 6. Einsteinova rovnice ve vakuu:

$$R_{ab} - \tfrac{1}{2} R g_{ab} = -\Lambda g_{ab} \quad\Rightarrow\quad \Lambda = 1\ \text{v kanonické normalizaci}$$

Škálová kalibrace: Λ_eff/M_Pl⁴ ≈ 4·10⁻¹²², řádově v souladu s Ω_Λ · 3H_0²/M_Pl⁴ ≈ 0.685 · 3 · (5.7·10⁻⁶¹)² ≈ 6.7·10⁻¹²¹. Řádová shoda, kvantitativně potřebuje fixaci poloměru S³ (volný parametr).

Klíčové: Λ_eff je statická. Pochází z topologické/geometrické struktury emergentního prostoru, ne z τ-pole. Proto v pozdní éře:

$$w_{\text{DE,KRT}}(z) \equiv -1 \quad \text{identicky}$$

IV.3 Late-time FRW model

Standardní ΛCDM forma s KRT interpretací komponent:

$$H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_{\text{m},0} (1+z)^3 + \Omega_{\text{r},0}(1+z)^4 + \Omega_{\Lambda,0}}$$

Ω_{m,0} = 0.315 (CDM + baryony + zbytkový φ-dust, externě zahrnuto; B2)
Ω_{r,0} = 9.2·10⁻⁵ (fotony + relativistická neutrina)
Ω_{Λ,0} = 1 − Ω_m − Ω_r = 0.685 (z Theorem 3, kalibrované pozorovaně)

V. w(z) a H(z) v DESI rozsahu

V.1 Tabulka

DESI DR2 měří BAO v redshift binech; klíčové z-body pokrývají z ∈ [0.1, 2.33]. Numerický výstup KRT baseline (H_0 = 67.4 km/s/Mpc, Planck 2018):

z	H(z) [km/s/Mpc]	w_eff	Ω_m	Ω_Λ	Ω_r
0.000	67.40	−0.685	0.3150	0.6849	9.20e−05
0.100	70.83	−0.620	0.3797	0.6202	1.22e−04
0.295	78.87	−0.500	0.4996	0.5002	1.89e−04
0.510	89.67	−0.387	0.6128	0.3870	2.70e−04
0.706	101.09	−0.304	0.6952	0.3044	3.46e−04
0.930	115.78	−0.232	0.7675	0.2321	4.33e−04
1.320	144.89	−0.148	0.8512	0.1482	5.77e−04
1.490	158.81	−0.123	0.8760	0.1234	6.37e−04
2.330	236.65	−0.055	0.9435	0.0556	9.18e−04

Poznámka k interpretaci w_eff. Hodnoty w_eff zde jsou celkové p_tot/ρ_tot, ne w_DE. Klesají od −0.685 při z=0 k téměř nule při vysokém z, protože matter komponenta začíná dominovat. Izolované w_DE zůstává −1 identicky v celém rozsahu.

V.2 Luminosity distance (SN Ia)

z      d_L [Mpc]   μ = 5 log10(d_L/10pc)
0.10     477.53    38.395
0.30    1607.37    41.031
0.50    2927.01    42.332
1.00    6802.04    44.163
1.50   11204.00    45.247
2.00   15933.91    46.012

Tato predikce je numericky nerozlišitelná od standardního ΛCDM se stejnými Ω_m, Ω_Λ. KRT baseline tedy reprodukuje všechny testy distance-ladder kompatibilní s ΛCDM, a dědí také všechny jeho tensions (H_0 tension, S_8 tension).

VI. Srovnání s DESI DR1/DR2

VI.1 Pozorování

DESI DR2 (2025, 14M galaxií/QSO) preferuje CPL parametrizaci w(z) = w_0 + w_a · z/(1+z) s hodnotami:

DR2 + CMB + SN Union3: w_0 ≈ −0.76, w_a ≈ −1.0 (orientační, viz DESI DR2 paper II)
Předpočet pro konzistenci: phantom crossing (w < −1 v minulosti, w > −1 dnes) v oblasti z ≈ 0.5
Preference pro dynamickou DE nad ΛCDM: 2.8–4.2σ v závislosti na kombinaci SN dat

VI.2 KRT baseline predikce

$$w_{0,\text{KRT}} = -1, \quad w_{a,\text{KRT}} = 0$$

Tedy KRT baseline sedí na ΛCDM bod v (w_0, w_a)-rovině a dědí identickou DESI DR2 tension. KRT v této formulaci nemá explicitní řešení DESI DR2 nálezu dynamické DE.

VI.3 Mohla by KRT řešit DESI DR2 tension?

Tři kandidátní cesty:

(A) Reziduální dynamický φ-sektor. Aby w_0 ≠ −1, muselo by dnes přežívat dynamické τ-pole. Ale:

$$m_\varphi \approx 1.58\cdot 10^{-5}\ M_\text{Pl} \gg H_0 \approx 5.7\cdot 10^{-61}\ M_\text{Pl}$$

Poměr m_φ/H_0 ≈ 2.77·10⁵⁵ ⇒ φ dnes rychle osciluje (nikoli frozen plateau), efektivně přispívá jako matter dust (w=0), ne jako dark energy (w=−1). Tímto mechanismem φ nemůže vytvořit w_0 ≠ −1 signature.

(B) Modifikace Λ_eff skrze S³ dynamiku. Pokud poloměr emergentního S³ evolvuje s časem (ne čistě statický), Λ_eff(t) by byla dynamická. Toto vyžaduje P2 (GR limit) a je mimo scope eseje. Kandidát na B8 nový úkol roadmap, pokud by se fenomenologie ukázala podporující.

(C) Druhé pole τ₁ (axion-like). V eom-odvozeni.md je τ₁ potlačeno předpokladem fixního bodu T-symetrie. Pokud τ₁ ≠ 0 v pozdní éře, vznikne kvazi-axion-monodromy dark energy s nenulovým w_a. Model vyžaduje specifikaci počátečních podmínek τ₁ po reheatingu — opět navázané na B2.

VI.4 Rozlišující predikce

Pokud DESI DR3+ (~2027–2028) nepotvrdí phantom crossing a w_0 = −1 zůstane konzistentní v rámci σ, KRT baseline je automaticky konfirmací. Pokud ale w_0 ≈ −0.76 s w_a ≈ −1 přežije s vyšší významností (> 4σ), KRT vyžaduje jednu z cest (A)/(B)/(C) s přesným kvantitativním predikcím. Aktuální stav: pozorování nevylučuje ani nevyžaduje modifikaci KRT baseline.

VI.5 Kandidátní úkol B8: dynamická Λ_eff skrz S³ poloměr

Cesta (B) z §VI.3 zaslouží samostatné roadmap zachycení. Předpoklad: poloměr emergentního S³ (Theorem 3) není statická konstanta, ale polem-indukovaná veličina R_S(τ, φ) závislá na kosmologickém pozadí. Pak:

$$\Lambda_\text{eff}(t) = \frac{6}{R_S(t)^2}\cdot M_{\text{Pl}}^2 \cdot(\text{geometrická konstanta})$$

a pomalá evoluce R_S(t) ~ H(t)^{-1} (dynamická stabilizace na horizont) by produkovala w_DE(z) ≠ −1 s velikostí závislou na rychlosti této evoluce. Toto je propojené s P10 (dynamická stabilizace S³ poloměru na Hubbleův horizont, aktuálně 🔴 bez strategie v 00-status.md §IV). Pokud P10 dostane strategii, B8 (KRT kvantitativní DESI predikce) se stane proveditelným.

Orientační odhad amplitudy. Pokud R_S ~ 1/H_0 a d(lnR_S)/d(lnN) ~ 0.1 (slabá evoluce), pak:

$$\frac{\Lambda_\text{eff}(z)}{\Lambda_\text{eff,0}} \approx 1 + 0.2 \cdot \ln(1+z)$$

a efektivní w_DE(z) ≈ −1 + δ(z), kde δ(z=0.5) ~ 0.1. Toto by ukázalo v DESI jako mírný phantom-crossing, částečně korespondující s DR2 signaturou. Tato hodnota je fenomenologická projekce, ne KRT derivace. Pro upgrade na KRT predikci musí P10 dodat specifickou dynamiku R_S(t).

VII. Status úkolu B1

Status: 🟡 (kandidát).

✅ FRW systém explicitní, E-L rovnice odvozeny (eom-odvozeni.md)
✅ Fáze 1 numericky: slow-roll end → oscilace, ⟨w_φ⟩ = 0, ρ_φ ∝ a⁻³
✅ Fáze 2 analyticky: inflaton dust + externí (ρ_r, ρ_m) + Λ_eff static
✅ Fáze 3: w(z) tabulka pro z ∈ [0, 2.33], H(z), d_L(z) spočítáno
✅ Srovnání s DESI DR2: KRT baseline sedí na w_0 = −1, w_a = 0 — stejná tension jako ΛCDM
🟡 Explicitní reheating mechanismus (P3/B2) není řešen; τ → SM coupling je zbytková mezera
🟡 Kvantitativní DESI likelihood analýza (χ²) není provedena — zde jen strukturní compatibility check
🟡 Alternativní KRT scénáře (τ₁ ≠ 0, S³-dynamická Λ) nejsou rozpracovány — navázané na B4/nová úloha

Od 🟡 k 🟢

Pro upgrade na 🟢 by bylo nutné:

Vyřešit P3/B2 (reheating mechanismus; B2 na roadmap): dostat τ → SM efektivní couplings z Cayley-Dicksonovy struktury nebo podobně.
Zahrnout τ₁ sektor post-reheat a spočítat eventuální příspěvek k dark energy dnes.
Provést plnou DESI DR2 + Planck + Pantheon+ likelihood analýzu ve stromu KRT predikce.

Odhadovaný čas: B2 v řádu týdnů–měsíců (roadmap estimate 2–4 týdny pro core mechanismus, déle pro full fenomenologii).

VIII. Zbytkové mezery (Pravidlo 7)

(M1) Reheating mechanismus (P3/B2). Esej předpokládá, že τ → SM reheat proběhne efektivně a zanechá standardní ρ_r, ρ_m pozadí. Detailní mechanismus (coupling τ k fermionům, bosonům; preheating a resonantní produkce; reheat teplota T_reh) není odvozen. Kandidát z korpusu: Cayley-Dicksonova struktura (P17 oktonicke-grupy-review.md, p17-roadmap.md) by mohla dodat couplings.

(M2) Cold dark matter složka. T-model lagrangián neobsahuje CDM jako intrinsickou komponentu. CDM v tomto rámci musí pocházet buď z (a) stabilních rezonancí τ-pole, (b) SM-rozšíření spojeného s P4 (full SM emergence, D1), nebo (c) být extra polem mimo τ-sektor. Esej používá externí ρ_m(a) ∝ (1+z)³ jako vstup, nevyřešený interně.

(M3) Kvantitativní Λ_eff z Theorem 3. Řádová shoda 10⁻¹²² s Λ_obs je silný indikátor, ale přesná hodnota závisí na poloměru S³, což je v aktuálním formalismu volný parametr. Predikční síla v pozdní kosmologii je proto podmíněná: pozorovaná Ω_Λ = 0.685 kalibruje poloměr S³, ne naopak.

(M4) DESI DR2 phantom-crossing signature. Pokud tato signature přežije s vysokou významností, KRT baseline je v tension. Tři kandidátní cesty ((A) τ-reziduum, (B) dynamická Λ, (C) τ₁ sektor) existují, ale žádná není kvantitativně rozpracovaná. Rozšíření je legitimní úkol pro další iteraci (kandidát B8 nový).

(M5) Full FRW numerická integrace. Tato esej dělá fázi 1 numericky a fáze 2–3 analyticky. Plná „one-shot" integrace od N=0 do N≈60 (inflation end → today) by vyžadovala adaptivní schéma s averaging inflaton oscilací nad Hubble scale. Toto je proveditelné (standard Cosmology / CLASS / CAMB framework rozšíření), ale výpočetně těžké a pro KRT baseline predikci redundantní (ΛCDM přiblížení je přesné).

IX. Shrnutí

FRW + τ-inflaton systém je explicitní, rovnice odvozeny v eom-odvozeni.md a zopakovány v §I.
Počáteční podmínky konce inflace (φ_end = sinh⁻¹√2, H_end² = V_end/2, φ̇_end = −√2 H_end) jsou jednoznačně určeny z ε_V = 1 + Friedmann constraint.
Fáze 1 numerika potvrzuje oscilační dust scaling ρ_φ ∝ a⁻³, ⟨w_φ⟩ = 0.
Fáze 2/3 (post-reheat) je efektivní ΛCDM s Λ_eff z Theorem 3. KRT baseline predikuje w_DE(z) ≡ −1 identicky.
Srovnání s DESI DR2: KRT sedí na ΛCDM bod (w_0, w_a) = (−1, 0). Dědí identickou phantom-crossing tension (2.8–4.2σ). Nemá v baseline formulaci explicitní řešení.
Status B1: 🟡. Zbývá vyřešit P3/B2 pro upgrade na 🟢.

Návaznost

eom-odvozeni.md — E-L rovnice (K_fields = −1 dokázáno z Theorem 1)
slow-roll-numericky.md — slow-roll fáze, r = 0.00239
ricci-theorem-3.md — Λ_eff z S³ křivosti (řádová shoda)
paper-draft-v1.md — efektivní akce, T-model specifikace
00-roadmap.md — B1 původní spec, B2 (reheating) follow-up
00-status.md — P1 status update (po této eseji 🟡 pokračuje)

X. Appendix: technické detaily integrace

A.1 Volba integrátoru fáze 1

Systém má dvě dynamické škály: Hubble škálu 1/H ~ 10⁵ M_Pl⁻¹ a oscilační škálu 1/m_φ ~ 6·10⁴ M_Pl⁻¹, které jsou srovnatelné (m_φ/H_end ≈ 1.93). Stiffness je tedy mírná, ne extrémní, ale adaptivní integrátor je nutný. Použili jsme Radau (implicit Runge-Kutta, 5. řád) s rtol=1e-8, atol=1e-14, max_step = t_end/2000. LSODA by fungoval ekvivalentně; explicitní metody (RK45) selhávají v oscilační fázi bez extrémně malého kroku.

A.2 Validace energy conservation

Během fáze 1 musí platit:

$$\frac{d}{dt}\left[\tfrac{1}{2}\dot\varphi^2 + V(\varphi)\right] = -3H\dot\varphi^2$$

Energy loss je přesně z Hubble frikčního členu. Numerická kontrola: integrál ∫ 3H φ̇² dt mezi t=0 a t=t_end měl by se rovnat [½φ̇² + V](0) − [½φ̇² + V](t_end). V naší simulaci platí shoda s relativní chybou < 10⁻⁶, konzistentní s tolerancí integrátoru. ✓

A.3 Normalizace a(t=0) = 1

Zvolili jsme a(t_end) = 1 v integraci. Pro srovnání s dneškem přepočítáváme přes:

$$\frac{a_\text{end}}{a_0} = \left(\frac{\rho_{\text{r},0}}{V_\text{end}}\right)^{1/4} \approx 2.6\cdot 10^{-29}$$

což dává z_end = 1/a_end_over_a0 − 1 ≈ 3.9·10²⁸ a odpovídající N_end_to_today = ln(a_0/a_end) ≈ 65.5 e-folds. Tato hodnota je konzistentní s N_e = 57–60 ze slow-roll + post-inflační expanze, jak očekáváno standardní inflační kosmologií. ✓

A.4 Proč fáze 2/3 neběží numericky

Pokud bychom chtěli čistou integraci přes všech 65 e-folds, systém vyžaduje max_step < 1/m_φ = 6·10⁴ M_Pl⁻¹ pro resolution oscilací, zatímco total time spans t_0 − t_end ~ 10⁶⁰ M_Pl⁻¹. To by vyžadovalo ~10⁵⁵ integračních kroků — výpočetně nemožné. Adiabatické averaging je průmyslový standard pro takové systémy (viz Mukhanov, Physical Foundations of Cosmology, 2005, §5). Pro KRT baseline predikci (w_DE = −1) averaging stačí; pro případnou derivaci δ(z) (§VI.5) by bylo třeba přidat druhý adiabatický parametr (slow evolution Λ_eff).

Honest flags

Multi-scale schéma je standardní aproximace. WKB/adiabatic averaging inflaton oscilací nad Hubble škálou je průmyslovou praxí v cosmological perturbation theory. Není to zkratka; je to jediný způsob, jak extrahovat late-time dynamiku z rovnic se škálami lišícími se o ~60 dekád.
Λ⁴ = 5·10⁻¹⁰ M_Pl⁴ je kalibrovaná z COBE + r=0.0025, ne odvozená ab initio. Ab initio derivace vyžaduje P8 (full effective action from microscopic τ-dynamics, open problem C3).
DESI srovnání je kvalitativní, ne MCMC fit. Esej neposkytuje χ²(KRT) vs χ²(ΛCDM); jen strukturní analýzu toho, že KRT baseline = ΛCDM(Λ_eff static) v pozorovatelných statistikách.
Ω_m,0 = 0.315 je vstup, ne predikce. KRT baseline má v sobě zabudováno standardní Planck 2018 rozdělení; nerozhoduje mezi Ω_m = 0.30 a Ω_m = 0.33 na úrovni teorie.