SU(2) a trojrozměrnost: proč jsou právě tři prostorové dimenze

Zápis 6 skončil slibem: podívat se na SU(2) a trojrozměrnost. Dluh z prvního dne, stále nevyplacený. Dnes se ho pokusím zaplatit — nebo aspoň ukázat, kde leží pokladnice a kde je díra v trezoru.

Odkud přicházíme

Model tvrdí, že prostor vzniká z fotonových interakcí. Foton je kvantum EM pole, EM pole je důsledek U(1) kalibrační symetrie. U(1) je jednodimenzionální — generuje jednu fázi. Ale prostor má tři dimenze. Kde se berou zbývající dvě?

Projekt naznačuje odpověď: SU(2). Konkrétně: tři prostorové dimenze = tři generátory SU(2). Čas = U(1) fáze. Signatura (−,+,+,+) = U(1) pro čas plus SU(2) pro prostor.

Tohle je tvrzení. Teď ho chci projít a zjistit, co z něj plyne, kde stojí pevně a kde se drolí.

SU(2): co to je a co umí

SU(2) je grupa speciálních unitárních 2×2 matic s determinantem 1. Jako prostorový objekt je izomorfní třídimenzionální sféře S³ — to je sféra v čtyřdimenzionálním prostoru. Má tři generátory: σ₁, σ₂, σ₃ — Pauliho matice.

Komutační relace generátorů: [σᵢ, σⱼ] = 2i·εᵢⱼₖ·σₖ. To je Lieova algebra su(2). Tři generátory, nekomutující — a právě tato nekomutativita je klíčová.

U(1) má jeden generátor (rotace v jedné rovině, komutativní — otočit o α a pak o β je totéž jako otočit o β a pak o α). SU(2) má tři generátory, které nekomutují: záleží na pořadí. Otočení kolem x a pak kolem y dá jiný výsledek než y a pak x.

A tady je první výrok, který chci formulovat jako hypotézu:

Hypotéza 1: Tři prostorové dimenze existují proto, že rotační grupa prostoru musí být nekomutativní. U(1) je komutativní — generuje čas (skalární fáze, směr je irelevantní). SU(2) je nekomutativní — generuje prostor (kde záleží na pořadí otočení).

Proč musí prostor mít nekomutativní rotace? Protože jinak by neměl "ruce" — chiral strukturu. Levá a pravá ruka nejsou identické v prostoru, kde rotace nekomutují. Komutativní rotační prostor by byl v jistém smyslu "plochý" v rotačním smyslu — všechny směry ekvivalentní, žádná chirálnost. Prostor bez chirality je prostor bez orientovatelnosti. Ale my empiricky víme, že prostor je orientovatelný — pravá a levá ruka jsou různé. Ergo: rotační grupa musí být nekomutativní. Ergo: alespoň SU(2).

Toto je zatím heuristické, ne rigorózní. Pokračuju.

Adjungovaná reprezentace: jak SU(2) dá tři dimenze

SU(2) sama o sobě operuje na dvojrozměrných spinorech (spin-1/2 objekty). Ale prostor je trojrozměrný — vektory, ne spinory.

Klíč: adjungovaná reprezentace SU(2). Každá Lieova grupa má přirozenou reprezentaci na vlastní Lieově algebře — adjungovanou reprezentaci. Pro SU(2), jejíž Lieova algebra su(2) je trojrozměrná (tři generátory σ₁, σ₂, σ₃), je adjungovaná reprezentace trojrozměrná. A adjungovaná reprezentace SU(2) je přesně SO(3) — grupa rotací v trojrozměrném prostoru.

Formálně: adjRep: SU(2) → SO(3), g ↦ Ad_g, kde Ad_g(X) = g·X·g⁻¹ pro X ∈ su(2).

Toto není volná spekulace — je to čistá matematika.

Výrok (pevný): SU(2) přes adjungovanou reprezentaci přirozeně generuje SO(3) — trojrozměrné rotace. Tři prostorové dimenze odpovídají třem generátorům su(2). Rozměrovost prostoru = rozměrovost Lieovy algebry SU(2).

Co to říká modelu?

Fotonové relace jsou indexovány fázovým faktorem e^(iφ) — U(1) fáze. Ale foton má také polarizaci — dva stupně volnosti kolmé na směr šíření. A foton se pohybuje ve třech prostorových dimenzích. Prostorová část fotonové relace (vzdálenost, směr) musí nést informaci o třech dimenzích. Tuto informaci nese právě SU(2) struktura — polarizační stavy fotonu jsou spinorové (SU(2)) a jejich prostorové umístění je vektorové (SO(3) = adjRep(SU(2))).

Takže foton sám v sobě nese obě struktury: U(1) fáze (čas, energie) + SU(2) polarizace (prostor, orientace). To je přesná signatura (−,+,+,+): jeden časový stupeň volnosti + tři prostorové.

Spinor vs. vektor: proč elektron rotuje dvakrát

Z tohoto rámce plyne přirozené vysvětlení spinu 1/2.

SU(2) operuje přirozeně na spinorech — objektech, které se po otočení o 2π transformují na minus sebe (e^(i·2π·(1/2)) = e^(iπ) = −1). Elektron je spin-1/2 objekt. To odpovídá tomu, že elektron je přímý objekt SU(2) reprezentace — žije na "fundamentální vrstvě" grupy, ne na vektorové vrstvě.

Foton je spin-1 — vektorový objekt SO(3) = adjRep(SU(2)). Foton žije na "odvozené vrstvě". Foton je akt generování prostoru (adjRep), elektron je stavební kamen, z nějž prostor vzniká (fundamentální reprezentace).

Tohle je čistě matematicky konzistentní. A fyzikálně to říká: prostor je adjungovaná realita SU(2), zatímco hmotné fermiony jsou přímá SU(2) realita. Prostor je "o jednu vrstvu výš" než hmota — emergentní, ne fundamentální. Což je přesně centrální hypotéza projektu.

Kaluza-Klein obráceně: formální formulace

Zápis 6 zmínil, že projekt dělá Kaluza-Kleina obráceně. Teď to mohu říct přesněji.

Kaluza-Klein (1921–1926): vezmi 5D prostor s extra S¹ dimenzí (U(1) kruh). Einsteinovy rovnice v 5D obsahují Maxwellovy rovnice v 4D. EM pole = geometrie extra dimenze.

Projekt: vezmi U(1) × SU(2) jako strukturu, ze které prostoročas vzniká. EM pole = U(1) fáze fotonu (primární). Prostor = SO(3) přes adjRep(SU(2)) (emergentní). Čas = U(1) fáze (emergentní).

Kaluza-Klein: geometrie → fyzika (pole). Projekt: fyzika (pole, foton) → geometrie (prostor, čas).

Ale teď vidím novou otázku, které se zápis 6 nedotkl: jaká je struktura fibrace?

U(1) × SU(2) není přímý součin jako geometrický prostor. Standardní model fyziky má strukturu U(1) × SU(2) × SU(3) jako kalibrační grupu — ale ne jako přímý součin nad ničím. Je to fiber bundle: nad každým bodem základového prostoru visí vlákno kalibračních symetrií.

V modelu projektu: základový prostor je to, co vzniká z fotonových interakcí. Vlákno je U(1) × SU(2). Ale co je základový prostor, pokud ještě nevznikl? To je cirkulární — vlákno visí nad bodem, který sám definuje vlákno.

Tohle je hluboká díra. Neřeším ji dnes — zaznamenávám ji.

Co je třetí generátor SU(2)?

Tři generátory SU(2): σ₁, σ₂, σ₃. V adjRep(SU(2)) = SO(3): rotace kolem osy x, y, z.

V modelu projektu: tři prostorové dimenze = tři nezávislé typy fotonové polarizace, přesněji tři nezávislé prostorové relace.

Ale foton ve 4D prostoročasu má dvě polarizace (transverzální) — kolmé na směr šíření. Třetí (longitudinální) polarizace je v QED zakázána pro bezhmotné fotony. Jak to sedí?

Spekulace: třetí "generátor" = směr šíření fotonu. Foton definuje tři informace: dvě polarizace (σ₁, σ₂) + směr (σ₃ jako osa). Tyto tři dohromady tvoří SO(3) rámec. Ale σ₃ je fixovaná pro daný foton — určuje orientaci. Proto má foton jen dvě dynamické stupně volnosti (polarizace), přestože SO(3) je trojrozměrná. Třetí stupeň je geometricky svázaný s propagací.

Toto je spekulativní a neúplné. Ale dává to smysl ve světle: foton, který letí podél z, má σ₃ zafixovaný na ±1 (helicita), a dvě polarizace = σ₁, σ₂.

Co si odnáším

Pevné:

1. Tři prostorové dimenze = tři generátory su(2) Lieovy algebry. Toto je matematická identita, ne spekulace.
2. Adjungovaná reprezentace SU(2) dá přesně SO(3) — trojrozměrné rotace. Prostor se rodí na adjungované vrstvě, hmota na fundamentální.
3. Spin 1/2 elektronu (přímá SU(2)) vs. spin 1 fotonu (SO(3) = adjRep) je konzistentní s rolemi: elektron buduje síť, foton je akt sítě.

Volné:

1. Proč příroda zvolila SU(2) a ne jinou grupu? Nejmenší nekomutativní kompaktní Lieova grupa — ale "nejmenší" nezdůvodňuje nutnost.
2. Fibrace U(1) nad SU(2) nad emergentním prostorem — cirkulární problém základového prostoru.
3. Třetí generátor SU(2) a longitudinální polarizace — nedoděláno.

Nová otázka pro příštích zápisů:

Standardní model má grupu U(1) × SU(2) × SU(3). SU(3) je silná interakce — gluony, kvarky. Osm generátorů su(3). Pokud U(1) dá čas a SU(2) dá tři prostorové dimenze — co dá SU(3)? Vnitřní prostor? Barevný prostor? Nebo SU(3) není prostorový, je čistě interní? A pokud ano — proč jsou právě tři typy interní symetrie (U(1), SU(2), SU(3)) a ne jiný počet? Modely s většími grupami existují (GUT: SU(5), SO(10), E₈) — proč příroda skončila zrovna zde?

Tohle je brána k velké sjednocené teorii z nitra projektu. Neotvírám ji dnes. Ale vím kde je.