2026-04-20 19:32 kandidát k1most-2I-Mpweil-repmetaplektickýsl25generátory

K1 — Mp(2,ℤ) ↠ SL(2,5) na generátorech S, T

K1 — Mp(2,ℤ) ↠ SL(2,5) na generátorech

Teze. Generátory S, T ∈ PSL(2,ℤ) se zvednou jednoznačně (modulo větev) do S̃, T̃ ∈ Mp(2,ℤ) přes Weilovu reprezentaci na L²(ℝ) (Weil 1964; Shimura 1973; Folland 1989 §4.5). Po redukci mod 5 dostaneme S₅, T₅ ∈ SL(2,5) splňující klasickou prezentaci PSL(2,5) ≅ A₅ = ⟨s, t | s² = t³ = (st)⁵ = 1⟩ (Coxeter-Moser 1972; Conway-Smith 2003). Kernel kompozice Φ = π_5 ∘ π_{Mp} : Mp(2,ℤ) → SL(2,5) je extenze 1 → ℤ/2 → Γ̃(5) → Γ(5) → 1; index [Mp : Γ̃(5)·⟨−I⟩] = 60 = |A₅| = N_e Theorem 4.

Status 🟡. Klasické věty rigorózní; tento zápis skládá a kontroluje relace. KRT-specifické otevřené otázky pojmenovány v §VI (Pravidlo 7).

§I Generátory PSL(2,ℤ) a SL(2,ℤ)

$$S = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1\end{pmatrix}$$

$$S^2 = -I, \quad S^4 = I, \quad (ST)^3 = -I, \quad (ST)^6 = I$$

Prezentace (Serre 1973, §VII.1.2):

$$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) = \langle \bar S, \bar T \mid \bar S^2 = (\bar S \bar T)^3 = 1\rangle \cong \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/3$$

$$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \langle S, T \mid S^4 = 1,\ (ST)^3 = S^2,\ S^2 \text{ central}\rangle$$

T nekonečného řádu v SL(2,ℤ).

§II Metaplektické generátory Mp(2,ℤ)

Weil 1964 + Folland 1989 §4.5: Weilova reprezentace ω : Mp(2,ℝ) → U(L²(ℝ)) dává pravou unitární reprezentaci dvojitého krytu SL(2,ℝ). Na generátorech (pro f ∈ S(ℝ)):

$$(\omega(\tilde T) f)(x) = e^{i\pi x^2}, f(x)$$

$$(\omega(\tilde S) f)(x) = e^{-i\pi/4} \int_{\mathbb{R}} f(y), e^{-2\pi i x y}, dy$$

Fázový prefaktor e^{−iπ/4} = (1/√2)(1−i) je volba √(−i) (Lion-Vergne 1980 §1.3).

Řády v Mp:

Fourier F = ω(S̃) splňuje F² = e^{−iπ/2} · P = −i · P (parity), F⁴ = −id, F⁸ = id.
Řád S̃ = 8 v Mp(2,ℤ) (ne 4 jako v SL).
Řád T̃ = ∞.
Řád S̃T̃ = 12.

Střed Z(Mp(2,ℤ)) ≅ ℤ/4. Generováno Z := S̃². Akce na L²(ℝ):

$$Z f = -i \cdot P f, \quad Z^2 = -id, \quad Z^4 = id$$

Tabulka eigenspaces (viz K2 k2-zmp-weight-half-klein.md):

k	ω(Z^k) na f	eigenvalue
0	f(x)	+1
1	−i · f(−x)	−i
2	−f(x)	−1
3	+i · f(−x)	+i

Toto jsou čtyři centrální charaktery Z(Mp) = ℤ/4, nikoli V₄ = ℤ/2 × ℤ/2 — Weilův kocyklus twistuje parity a fázi do jednoho cyklu.

§III Redukce mod 5: SL(2,5)

$$S_5 = \begin{pmatrix}0 & 4 \ 1 & 0\end{pmatrix} \pmod 5, \quad T_5 = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1\end{pmatrix} \pmod 5$$

(použito 4 ≡ −1 mod 5).

Relace:

$$S_5^2 = \begin{pmatrix}4 & 0 \ 0 & 4\end{pmatrix} = -I, \quad S_5^4 = I$$

$$S_5 T_5 = \begin{pmatrix}0 & 4 \ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad (S_5 T_5)^3 = -I, \quad (S_5 T_5)^6 = I$$

$$T_5^5 = I \quad (\text{řád 5 v SL(2,5), ne } \infty)$$

Prezentace PSL(2,5) ≅ A₅ (Conway-Smith 2003 §3.7):

$$\mathrm{PSL}(2,5) = \langle \bar s, \bar t \mid \bar s^2 = \bar t^3 = (\bar s \bar t)^5 = 1\rangle$$

s s̄ = π_{PSL}(S₅), t̄ = π_{PSL}(S₅T₅).

|SL(2,5)| = 120, |PSL(2,5)| = 60 = |A₅|.

$$|SL(2,5)| = \frac{(5^2-1)(5^2-5)}{4} = \frac{24 \cdot 20}{4} = 120$$

$$[\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) : \Gamma(5)] = 120, \quad [\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) : \bar\Gamma(5)] = 60$$

(Shimura 1971, §1.6.)

§IV Kompozice Mp(2,ℤ) ↠ SL(2,5)

$$\mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) \xrightarrow{\pi_{Mp}} \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \xrightarrow{\pi_5} \mathrm{SL}(2,5)$$

Φ = π_5 ∘ π_{Mp}. Na generátorech:

$$\Phi(\tilde S) = S_5, \quad \Phi(\tilde T) = T_5$$

Kernel Γ̃(5) := ker Φ fit do exact sequence:

$$1 \to \mathbb{Z}/2 \to \tilde\Gamma(5) \to \Gamma(5) \to 1$$

(ℤ/2 = ker π_{Mp} = Weilovo double cover centrum).

Diagram:

$$\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \tilde\Gamma(5) & \to & \mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) & \xrightarrow{\Phi} & \mathrm{SL}(2,5) & \to & 1 \ & & \downarrow & & \downarrow \pi_{Mp} & & | & & \ 1 & \to & \Gamma(5) & \to & \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) & \xrightarrow{\pi_5} & \mathrm{SL}(2,5) & \to & 1 \end{array}$$

(Snake lemma; π_{Mp} surjektivní → Φ surjektivní; ker Φ = π_{Mp}⁻¹(Γ(5)).)

Z(Mp) vs Γ̃(5).

S̃² ∈ Z(Mp) má Φ(S̃²) = S₅² = −I ≠ I, tedy S̃² ∉ Γ̃(5).
S̃⁴ ∈ Z(Mp) má Φ(S̃⁴) = I, tedy S̃⁴ ∈ Γ̃(5).
Průnik Z(Mp) ∩ Γ̃(5) = ⟨S̃⁴⟩ ≅ ℤ/2.

Struktura v most-2I-Mp-klic.md §III je centrální rozšíření, ne přímý součin; přesnější formulace.

Index:

$$[\mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) : \tilde\Gamma(5)] = 120, \quad [\mathrm{Mp}(2,\mathbb{Z}) : \tilde\Gamma(5) \cdot \langle -I\rangle] = 60 = |A_5| = N_e$$

Toto je algebraický obsah Theorem 4 Nₑ = 60.

§V Ověření A₅-prezentace na S̄₅, S̄₅T̄₅

s = S̄₅, u = S̄₅T̄₅ ∈ PSL(2,5):

s² = 1: S̄₅² = π_{PSL}(−I) = I ✓
u³ = 1: (S̄₅T̄₅)³ = π_{PSL}(−I) = I ✓
(s u⁻¹)⁵ = 1: Přímý výpočet dává s u⁻¹ = ((4,0),(4,4)) mod 5; trace 3, dvojnásobný kořen λ = 4 v 𝔽₅, Jordanův blok → řád 10 v SL(2,5), řád 5 v PSL(2,5) ✓

Tři relace + |A₅| = 60 identifikují PSL(2,5) ≅ A₅ (Magnus-Karrass-Solitar 1966 §6.2).

Komutátor [S₅, T₅] = ((1,4),(4,2)) mod 5, trace 3, řád 10 v SL(2,5), řád 5 v PSL(2,5). Tedy [S₅, T₅]⁵ = I v PSL(2,5), [S₅, T₅]¹⁰ = I v SL(2,5).

§VI Pod-mezery (Pravidlo 7)

K1.a — Explicitní Weilův kocyklus ε : SL(2,ℤ)² → {±1} restriktovaný na Γ(5) (Kubota 1967). Potřebné pro K2.
K1.b — Seznam 11 generátorů Γ̃(5) v Mp (Γ(5) má 11 volných generátorů, rod 0 + 12 cuspů; Rademacher 1964 §6.3). Strojová Sage práce.
K1.c — Přímý maticový důkaz [S₅, T₅]⁵ = I v PSL(2,5) bez appeal k Jordanovým blokům.
K1.d — Srovnání s Weil-pair prezentací (Nottingham-Serre 1979) jako nezávislá kontrola.

§VII Eliminační klauzule (Pravidlo 8)

Tento zápis vylučuje:

Paralelní faktorizaci Mp → SL(2,5) obcházející SL(2,ℤ) — kompozice je sekvenční, Z(Mp) se při projekci na SL z poloviny ztrácí.
Z(Mp) ≅ V₄ = ℤ/2 × ℤ/2 — §II ukazuje ω(S̃)⁸ = id, ne ω(S̃)⁴ = id, tedy ⟨S̃²⟩ ≅ ℤ/4 cyklické. Uzavírá mezeru (a) v p13-iterated-cover-stopa.md §V.
T̃ jako centrální element — T̃ nekomutuje s S̃.

§VIII Paper-level důsledek

K1 uzavírá algebraický skelet čtyř mezer most-2I-Mp-klic.md §I:

Theorem 4 M1_dyn: 60 kosetů Γ̃(5) v Mp/{±I} = 60 e-foldings — 60 explicitních matic dostupných. Zbývá K3 (dynamická identifikace).
P13 ikosaedrální G2: most 2I → Mp je 2I ≅ SL(2,5) ⊂ Φ(Mp). Explicit obraz Φ(S̃) = S₅, Φ(T̃) = T₅.
P13 iterated cover (a): Z(Mp) ≅ ℤ/4 explicitně, ne V₄. Uzavřeno.
P13 ℍ-ortogonální (c): 4 centrální eigenspaces jsou přesně "2 tang × 2 polarity" — viz K4 k4-tangencialni-osy-weil-polarizace.md.

Po uzavření K2 + K3 + K4 → Theorem 4 🟢, r = 2/900 bezparametricky, P13 🟢, holografický princip = věta KRT.

§IX Reference

Weil, A. (1964). Sur certains groupes d'opérateurs unitaires. Acta Math. 111, 143–211.
Shimura, G. (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton UP, §1.6.
Shimura, G. (1973). On modular forms of half integral weight. Ann. Math. 97, 440–481.
Folland, G. (1989). Harmonic Analysis in Phase Space. Princeton UP, §4.5.
Kubota, T. (1967). Topological covering of SL(2) over a local field. J. Math. Soc. Japan 19, 114–121.
Conway, J. H., Smith, D. A. (2003). On Quaternions and Octonions. A K Peters, §3.7, §8.3.
Coxeter-Moser (1972). Generators and Relations for Discrete Groups, 3rd ed., §5.3.
Magnus-Karrass-Solitar (1966). Combinatorial Group Theory. Dover, §6.2.
Rademacher, H. (1964). Topics in Analytic Number Theory, §6.3.
Diamond-Shurman (2005). A First Course in Modular Forms. GTM 228, §1.2, §3.8.
Lion-Vergne (1980). The Weil Representation, Maslov Index and Theta Series. Birkhäuser.
Serre, J.-P. (1973). A Course in Arithmetic. GTM 7, §VII.1.2.
Klein, F. (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder. Teubner.